Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đại số ngoài trên không gian Banach

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đại số ngoài trên không gian Banach làm rõ hơn về chuẩn tenxơ trên không gian Banach theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck, trên cơ sở mô phỏng kết quả đó, luận văn xây dựng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ trên tích ngoài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đại số ngoài trên không gian Banach BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lệ Thi ĐẠI SỐ NGOÀITRÊN KHÔNG GIAN BANACHChuyên ngành : Hình học và TôpôMã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ vàhỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Hà Thanh đã tận tình hướngdẫn và giúp đỡ rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôicũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoaToán –Tin Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tìnhgiúp đỡ và góp ý cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đãdành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạchtài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học SưPhạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT ChuyênHùng Vương đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao họcvà hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoànthành luận văn thạc sĩ này. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Như đã biết tích tenxơ của không gian Banach là một trong những côngcụ để hiểu được cấu trúc của không gian Banach và được nghiên cứu hơn nửathế kỷ qua. Người nghiên cứu đầu tiên là Alexander Grothendieck. Treân lyùthuyeát chuaån khoâng gian tuyeán tính, chuaån khoâng gian BanachGrothendieck ñaõ xaây döïng ñöôïc moäât ñaúng caáu töï nhieân giöõa khoâng giantuyeán tính L( X  Y ; Z ) vaø khoâng gian Banach B( X  Y ; Z ) , khi đó tích tenxơcó thể xem như là không gian tuyến tính. Treân cô sôû ñoù Grothendieck ñaõxaây döïng ñöôïc chuaån tenxơ treân khoâng gian Banach, trên đó cảm sinh haichuẩn : chuẩn noäi xaï vaø chuaån xaï aûnh. Noù laø chìa khoaù ñeå Grothendieckñaïi soá hoaù hình hoïc, xaây döïng thành công tích tenxơ tôpô, không gianhạch, K- lí thuyết, tôpô Grothendieck, …. Sau ñoù, dựa vào các keát quaû cuûa Grothendieck . Joe Diestel, Jan H.Fourie, Johan Swart, Andreas Defant, …. thác triễn roäng ra chuaån xaï ảnh,chuaån noäi xaï treân khoâng gian C(K), khoâng gian Lp, chuaån xaï aûnh, chuaånnoäi xaï beân traùi vaø beân phaûi, chuaån tenxô treân khoâng gian Hilbert, toán tửideal, không gian độ đo, …cùng nhiều ứng dụng khác. Moät vấn đề ñaët ra laø chuaån noäi xaï, chuaån xaï aûnh cuûa Grothendiecklieäu coù coøn ñuùng hay khoâng treân tích ngoaøi, ñaïi soá ngoaøi trong khoânggian Banach hay không? Chuùng toâi thaáy vaán ñeà naøy raát quan troïng ñeåñöôïc nghieân cöùu. Vaø ñaây chính laø ñeà tài nghieân cöùu luaän vaên cuûa chuùngtoâi. Trong luận văn này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc trả lời cáccâu hỏi sau đây: + Caùch xaây döïng moäât ñaúng caáu töï nhieân giöõa khoâng gian tuyeán tínhL( X  Y ; Z ) vaø khoâng gian Banach B( X  Y ; Z ) cuûa Grothendieck nhö theánaøo? + Chuaån tenxơ treân khoâng gian Banach, cuøng vôùi hai chuaån hôïp lyù laøchuaån nội xaï, chuaån xaï aûnh, tính phoå duïng aùnh xaï treân hai chuaån ñoù ñöôïcGrothendieck xaây döïng nhö theá naøo? + Nhöõng keát quaû cuûa Grothendieck ñöôïc keá thöøa nhö theá naøo khi taxaây döïng chuaån xạ ảnh ,chuẩn nội xạ treân tích ngoaøi, ñaïi soá ngoaøi? Cuøngvôùi moät soá ví duï vaø öùng dụng cuûa noù.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn làm rõ hơn về chuẩn tenxơ trênkhông gian Banach theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck, trên cơ sở môphỏng kết quả đó, chúng tôi xây dựng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ trên tíchngoài. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ mộtsố định lý và mệnh đề về chuẩn tenxơ trên không gian Banach, và hai chuẩnnội xạ, chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên tích ngoài.3. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về chuẩn trên tích ngoàikhông gian Banach, cụ thể là nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên không gianBanach , chuẩn nội xạ và xạ ảnh trên tích ngoài.4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu vềđại số ngoài trên không gian Banach.5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương : Chương 1: Hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tenxơ và tích ngoài,các khái niệm cơ bản làm nền tảng xây dựng chương 2 và chương 3. Chương 2: Nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên không gian Banach, chuẩnnội xạ và chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên đó, cùng với tính phổ dụng trên haichuẩn này, theo kết quả nghiên cứu của Grothendiec ...