Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dạng toàn phương hai biến

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu về dạng toàn phương hai biến xác định dương. Tác giả sẽ trình bày về một số định nghĩa, tính chất, định lý về dạng toàn phương, quan hệ tương đương của hai dạng toàn phương, tính hữu hạn của C(D), luật hợp thành của hai lớp và sơ lược về lý thuyết giống.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dạng toàn phương hai biếnBỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Nguyễn Thị Kim Quy DẠNG TOÀN PHƯƠNG HAI BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Nguyễn Thị Kim Quy DẠNG TOÀN PHƯƠNG HAI BIẾN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Nguyễn Duy Tân Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Dạng toàn phương hai biến là công trình nghiêncứu của tôi. Mọi kết quả nghiên cứu trước đó của các tác giả khác được tríchdẫn cụ thể. Nội dung luận văn chưa từng được công bố trong bất kỳ công trìnhnghiên cứu nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà Nội, ngày 02 tháng 4 năm 2020 Người cam đoan Nguyễn Thị Kim Quy LỜI CẢM ƠN Sau quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa họcvà Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Duy Tân. Thầy là ngườiđã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những giảng viênđã giảng dạy, đồng hành cùng mình tại Khoa Toán học. Tôi xin cảm ơn Trungtâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa họcvà Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học caohọc tại học viện. Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những ngườiđã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua. Nguyễn Thị Kim Quy 1Mục lụcDanh mục ký hiệu 2Mở đầu 31 DẠNG TOÀN PHƯƠNG HAI BIẾN VỚI HỆ SỐ NGUYÊN 4 1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Dạng xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Dạng xác định dương thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 HỢP THÀNH CỦA HAI DẠNG TOÀN PHƯƠNG 17 2.1 Hợp thành của hai dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Nhóm lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 LÝ THUYẾT GIỐNG 27 3.1 Ký hiệu Legrendre và ký hiệu Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Lý thuyết giống sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Lý thuyết giống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36KẾT LUẬN 50Tài liệu tham khảo 51 2 Danh mục ký hiệuZ Tập hợp các số nguyêngcd( a, b) Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và bdet( P) Định thức của mua trận PGL(2, Z) Nhóm ma trận cấp 2 với hệ số nguyên và định thức bằng ±1SL(2, Z) Nhóm ma trận cấp 2 với hệ số nguyên và định thức bằng 1PT Ma trận chuyển vị của ma trận PP −1 Ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển vị P(Z/DZ)× Nhóm các phần tử khả nghịch của vành (Z/DZ)×im(χ) Ảnh của đồng cấu χker(χ) Hạt nhân của đồng cấu χC( D ) Tập hoặc nhóm các lớp của các dạng toàn phương hai biến với định thức D( a, b,!c) Dạng toàn phương hai biến ax2 + bxy + cy2 a Ký hiệu Legendre (p là số nguyên tố lẻ, a ∈ Z) p M Ký hiệu Jacobi (m lẻ, m > 0, m và M nguyên tố cùng m nhau) 3 Mở đầu Cho dạng toàn phương hai biến f ( x, y) = ax2 + bxy + cy2 với a, b, c ∈ Z cóbiệt thức D = b2 − 4ac. Nếu D < 0 và a > 0 thì f ( x, y) chỉ có thể biểu diễn chosố nguyên dương. Khi đó, ta nói f ( x, y) là dạng toàn phương hai biến xác ...