Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều sau đây là nhằm tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vài ứng dụng của nó. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ___________________ Traàn Vaên Vöông ÑÒNH LÍ VEÀ CAÙC HEÄ TÖÛ PHOÅ DUÏNGÑOÁI VÔÙI CAÙC NHOÙM ÑOÁI ÑOÀNG ÑIEÀU Chuyên ngành: Đại soá vaø lyù thuyeát soá Mã số: 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRAÀN HUYEÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy đã giảng dạy, truyền đạt cho em nhiềukiến thức trong các khóa học, nhờ đó em có điều kiện để thực hiện và hoàn thành luận văn. Đặc biệt, TS. Trần Huyên – Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiềutrong quá trình hoàn thiện kiến thức và hoàn thành luận văn. Em xin được gửi lời cảm ơn thậtsâu sắc đến thầy. Cuối cùng, em xin cảm ơn quý thầy phản biện đã xem luận văn và giúp em hiểu sâu sắchơn vấn đề. Xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số , chuyên ngành xuất hiệntừ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trongđó, các tri thức về đồng luân dây chuyền, đồng điều đóng vai trò khá quan trọng. Nếu K là phức các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Địnhlí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài toán tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thôngqua đồng điều của phức K. Không chỉ vậy, định lí hệ tử phổ dụng còn có thể mở rộng thànhmột định lí tổng quát hơn, đó là định lí phân lớp đồng luân và định lí này giúp ta tính đồngđiều của phức Hom(K,L) thông qua đồng điều của các phức K và L.Vì vậy, việc hiểu rõ vềđịnh lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân là rất cần thiết. Nó có vai trò hỗ trợ trongviệc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều và Tôpô Đại Số. Đó là lí do chọn đề tài. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vàiứng dụng của nó. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên phạm trù các phức, Hom của các phức và những vấn đề liên quan. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Làm rõ hai định lí quan trọng của đại số đồng điều: định lí hệ tử phổ dụng và định lí phânlớp đồng luân. Bên cạnh đó, cho thấy một vài ứng dụng của hai định lí trên trong việc tínhđồng điều của phức Hom và tìm hiểu sâu hơn về đồng luân dây chuyền.Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản được sử dụng khi trình bày luận văn. Đó làmột số vấn đề về phức và đồng điều, hàm tử Ext, hàm tử Tor, … Phần chứng minh của cácmệnh đề, định lí có thể đọc chúng trong các tài liệu tham khảo.1.1. Phức và đồng điều1.1.1. Các định nghĩa Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R-môđun là họ K n , n  gồm các R-môđunK n và các R-đồng cấu  n : K n  K n 1 , được cho theo tất cả các số nguyên n sao cho  n  n 1  0 .Như vậy, phức K là dãy vô tận về hai đầu: n  n 1 K :    K n 1   K n  K n 1  trong đó tích của 2 đồng cấu nối tiếp nhau thì bằng 0. Chu trình n-chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn (K)  Ker n Bờ n-chiều của phức K là phần tử của Bn  K    n 1K n 1 Đồng điều H(K) là họ các môđun H n (K)  Ker n Im  . Đẳng thức H n  K   0 có nghĩa n 1là dãy K khớp tại K n . Phức K được gọi là tự do nếu K n là môđun tự do với mọi n   . Cho K  K n ,  n  và K  K n ,  n  là các phức. Một biến đổi dây chuyền f : K  K là họ cácđồng cấu f n : K n  K n , n   sao cho:  f  f n 1 n , n   . n n f*  H n  f  : H n  K   H n  K  c  K n 1  f  c   K n 1được cảm sinh từ f là một đồng cấu. Họ các đồng cấu s  s n : K n  K n 1 , n   được gọi là một đồng luân dây chuyền giữa 2 biếnđổi dây chuyền f, g nếu thỏa:  n 1s n  s n 1 n  f n  g nKí hiệu : s : f g Cho K-phức các R-môđun và G là một R-môđun. Khi đó, ta có phức các nhóm aben sau: n 1 ...