Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric

Mời các bạn tham khảo luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric sau đây để nắm bắt được những nội dung về định lý điểm bất động Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn, định lý Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed, định lý Krasnoselskii trong E – không gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRICChuyên ngành : Toán giải tíchMã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đếnThầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư PhạmThành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn vàcung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốtnhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văn tốt nghiệpđã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường ĐạiHọc Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốtthời gian học tập. Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường ĐạiHọc Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạtđược nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống. Tôi xin chânthành cảm ơn. Học viên thực hiện Dương Thùy Vân MỤC LỤCLỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONGKHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN .......................................................................3 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ...............................................................................3 1.2 Không gian nón định chuẩn...............................................................................4 1.3 Định lí Krasnoselskii .........................................................................................7Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓNĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED ........................................................................ 10 2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự ............................................................. 10 2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed .................................................... 13 2.3 Các định lí điểm bất động............................................................................... 14 2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers ........................................................... 18 2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm ................................................................... 20Chương 3. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN ......... 24 3.1 E – không gian ............................................................................................... 24 3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian ............................................. 26 3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach ........................................ 28KẾT LUẬN ............................................................................................................. 32TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 33 1 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng vàhữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựngxấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Khoa học Tựnhiên cũng như cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội. Lý thuyết điểm bất động hìnhthành từ đầu thế kỷ 20, phát triển mạnh mẽ và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểmbất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là cácđịnh lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động. Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợphai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánhxạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâusắc trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,…Do sự quan trọngcủa định lý Krasnoselskii mà nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu mởrộng theo nhiều hướng. Hướng thứ nhất tìm cách giảm nhẹ điều kiện co và điềukiện compact hoặc điều kiện bất biến của miền xác định. Hướng mở rộng thứ hai làmở rộng về không gian như thay không gian định chuẩn bằng không gian lồi địaphương hoặc không gian nón - định chuẩn Không gian nón – mêtric và nón – định chuẩn được đưa vào nghiên cứu trongnhững năm 1950 khi thay miền giá trị của mêtric và chuẩn thông thường là [0,∞)bởi nón dương của một không gian có thứ tự. Các không gian này tìm được các ứngdụng quan trọng trong Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểmbất động. Các kết quả về điểm bất động trong không gian nón – mêtric chủ yếu liênquan đến ánh xạ dạng co. Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho không gian nón -định chuẩn và ứng dụng của nó là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Đó là lí do tôi chọn đề tài này. Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống hướng nghiên cứu địnhlý Krasnoselskii trong không gian nón - định chuẩn, không gian nón – định chuẩnphi Archimed, và trong E – không gian; các ứng dụng của nó trong ...