Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải tích trong không gian Banach có thứ tự

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải tích trong không gian Banach có thứ tự bao gồm những nội dung về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón; ánh xạ giữa các không gian Banach có thứ tự; điểm bất động của ánh xạ trong không gian Banach có thứ tự. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải tích trong không gian Banach có thứ tự BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Thủy GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰChuyên ngành: Toán Giải TíchMã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Xin chân thành cảm ơn PGS. TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luậnvăn này. Quý thầy cô trong khoa đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tạitrường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Thủy MỞ ĐẦU Quan hệ thứ tự và các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự được sử dụng trong nhiều lĩnhvực của toán học như trong lý thuyết tập hợp, trong logic học, trong Đại số, trong Giải tích,… Chẳng hạn, trong lĩnh vực Giải tích, bổ đề Zorn và các dạng tương đương của nó đượcsử dụng để chứng minh những kết quả phức tạp như định lí Tychonoff, định lí Hahn-Banach, một số định lí về điểm bất động,…Trong các ứng dụng nêu trên các thứ tự được xéttrong một tập hợp không có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô. Việc nghiên cứu thứ tự trong các không gian có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô đưa đếnviệc xây dựng lý thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các ánh xạ tác động trongchúng. Lý thuyết này được khởi đầu từ những năm 1940 trong các công trình của M.Krein,A.Rutman, M.Krasnoselskii,… và tiếp tục được phát triển cho tới gần đây. Nó tìm đượcnhững ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, Lýthuyết điều khiển và tối ưu, Toán kinh tế,… Trong luận văn này chúng tôi sẽ giới thiệu những khái niệm và kết quả ban đầu vềkhông gian Banach có thứ tự, về một số lớp ánh xạ đặc biệt tác động trong các không gianBanach có thứ tự và tính chất c ủa chúng, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ trong khônggian Banach có thứ tự. Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả về mối liên hệ giữa thứ tự và sự hội tụtrong tập số thực  cũng như một số tính chất của hàm tăng, hàm lồi trên  cũng đúng chokhông gian Banach có thứ tự và các ánh xạ đơn điệu tăng, ánh xạ lồi. Vì khả năng và thời gian hạn chế nên bản luận văn chắc chắn không thể thiếu những saisót, rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và các bạn học viên. Chương 1: KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN Khi ta muốn đưa thứ tự vào một tập hợp đã có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô thì thứ tựnày cần phải tương thích với cấu trúc đã có trong tập hợp đó. Nhà toán học Nga M.Krien đã dùng khái niệm mặt nón để định nghĩa thứ tự trong các không gian định chuẩn. Các định nghĩa này tỏ ra rất thích hợp để xây dựng Giải tích trong các không gian Banach có thứ tự.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón.Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach trên trường số thực  và K là tập con của X. Khi đó K được gọi là nón nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: i) K đóng, khác rỗng, và khác {θ } , ii) Nếu a, b ∈  , a, b ≥ 0, x, y ∈ K thì ax + by ∈ K, iii) Nếu x ∈ K và − x ∈ K thì x = θ .Ví dụ: Cho X=  n , K= {( x , x ,, x ) : x ≥ 0, i ∈1.n} thì K là nón trong  1 2 n i n .Định nghĩa 1.1.2: Cho X là không gian Banach với nón K. Thứ tự sinh bởi K được định nghĩa như sau:x, y ∈ K, x ≤ y ⇔ y − x ∈ K. Nếu nón K có intK ≠ ∅ thì ta định nghĩa x  y nếu y − x ∈ int K . Ở ví dụ trên, thứ tự trong  n sinh bởi nón K được định nghĩa như sau: x (= x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ), x ≤ y ⇔ yi − xi ≥ 0, i ∈1.nMệnh đề 1.1.3: Giả sử ≤ là thứ tự trong X sinh bởi nón K. Khi đó : i) Nếu x ≤ y thì λ x ≤ λ y, ∀λ ≥ 0 và x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X , ii) Nếu xn ≤ yn (n ∈  * ) và lim xn = x, lim yn = y thì x ≤ y, n →∞ n →∞ iii) Nếu { xn } là dãy tăng và hội tụ về x thì xn ≤ x, n ∈  *.Chứng minh: i) Ta có :( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z ,λ y − λ x= λ ( y − x) ∈ K nên λ x ≤ λ y. ii) Do yn − xn ∈ K (n ∈  * ), lim ( yn − xn ) = y − x, K đóng nên n→∞y − x ∈ K hay x ≤ y. iii) Giả sử { xn } là dãy tăng. Khi đó xn ≤ xn+ m (m, n ∈  * ) . Cho m → ∞ tađược xn ≤ x ( n ∈  * ) .1.2 Nón chuẩn.Định nghĩa 1.2.1: Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số N>0 sao cho với mọix, y ∈ K, x ≤ y thì ta có x ≤ N y .Ví dụ 1: i) Nón K = { } f ∈ C[0,1] , f ≥ 0 là nón chuẩn trong C[0,1] . ii) Nón các hàm không âm, có đạo hàm liên tục không là nón chuẩntrong C[10,1] .Chứng minh: i) Lấy f , g ∈ K thoả điều kiện f ≤ g . Ta có với t ∈ [ 0,1] thì 0 ≤ f (t ) ≤ g (t ) .Suy ra sup f (t ) ≤ sup g (t ) hay f ≤ g . t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] Vậy K là nón chuẩn với hằng số N=1. ii) Xét dãy f n (t ) = t n và hàm f (t ) = 1 . Ta có fn ≤ f , n ∈  *, fn = max f n (t ) + max f n (t ) = 1 + n, f = 1. 0≤t ≤1 0≤t ≤1Do đó không tồn tại hằng số N sao cho bất đẳng thức f n ≤ N f đúng với mọi n ∈  * .Mệnh đề 1.2.2 : Cho K là nón chuẩn trong ...