Bài tập môn giải tích hàm

Bµi 5.Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn và x0 . Chứng minh rằng:a)Ánh xạ f: X xác định bởi công thức f(x) = x + x0 là một phép đẳng cự từ X lên X.b)Nếu E là một tập hợp mở (đóng) trong X thì là một tập hợp mở (đóng) trong X.c)Nếu U là một tập hợp mở trong X và E là một tập bất kỳ trong X thì là một tập hợp mở trong X.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập môn giải tích hàm ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Khoa Sau đại học Bµi tËpM«n gi¶i tÝch hµm Th¸i nguyªn, th¸ng 04 n¨m 2007 bµi tËp ch¬ng 1 1 §¹i c¬ng vÒ kh«ng gian banachBµi 1. Chøng minh r»ng c lµ mét kh«ng gian Banach víi chuÈn x = sup ξn , n trong ®ã x = (ξn ) c lµ mét d·y sè thùc (hoÆc phøc) héi tô.Gi¶i.Ta biÕt:+ Kh«ng gian l lµ c¸c d·y sè thùc (hoÆc phøc) bÞ chÆn lµ kh«ng gianBanach víi chuÈn x = sup ξn . n+ c lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tuyÕn cña l+ Kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Banach lµ kh«ng gian Banach.VËy ta sÏ chøng minh c lµ kh«ng gian con ®ãng cña l , tøc lµ d·y {xn} c , bÊtkú th× x n héi tô ®Õn mét phÇn tö x thuéc c, limx n = x l : n (x n = ξ(n) k ) k =1 ( ξk ) k=1 εCho ε > 0 tïy ý. V× lim x n − x = 0 nªn víi n0 ®ñ lín ta cã x n − x < . Víi mäi k, l n 3nguyªn d¬ng, ta cãξ k − ξl = ξ k − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ l k k l k ξ k − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + ξ (n0 ) − ξ l k k l k ε ε (1) x − x n0 + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + x n0 − x � ξ k − ξl < + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + k l k l 3 3V× d·y sè x n0 = ξ n0 k ( ) k =1 c héi tô x n0 lµ d·y Cauchy nªn ∃N nguyªn d¬ng sao εcho k � l � � ξ(n0 ) − ξ(n0 ) < N, N k l (2). 3Tõ (1), (2) suy ra k � l � � ξ k − ξl < ε . VËy d·y x = ( ξ k ) héi tô, tøc lµ x N, N c.Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu x = ( ξn ) lµ mét phÇn tö cña kh«ng gian c th× x = ξe0 + ( ξn − ξ ) en trong ®ã en = ( δnk ) k =1 , e0 = (1,1,...,1,...), ξ=lim ξn . n n=1Gi¶i. 2 � n �Ta chøng minh lim x − �e0 + ξ ( ξ k − ξ ) ek �= 0 . ThËt vËy, ta cã n � k =1 � nx − ξe0 + ( ξ k − ξ ) ek = ( ξ1, ξ2,...,ξn ,...) − ( ( ξ,ξ,...,ξ,...) + ( ξ1 − ξ,ξ2 − ξ,...,ξ n − ξ,0,...) ) = k =1( 0,0,...,0, ξn+1 − ξ,ξn+2 − ξ,...) . � n � ��ngh�c� chu� theo nh a a nDo ®ã x − �e0 + ξ ( ξ k − ξ ) ek � = sup ξ k − ξ n 0 , v× ξ=lim ξn . n � k =1 � k n+1Bµi 3. Chøng minh r»ng c lµ mét kh«ng gian kh¶ li.Gi¶i.Ta xÐt 2 trêng hîp:a) c lµ kh«ng gian thùcGäi L = {y: y = (r1,...,rn ,...) }; rk � , k = 1,n , trong ®ã n lµ mét sè nguyªn d¬ng bÊt ﾤkú. Khi ®ã L lµ tËp hîp con cña kh«ng gian c vµ L lµ ®Õm ®îc (do ﾤ lµ tËp®Õm ®îc). Ta chøng minh L = c .+ Râ rµng L c . Ngîc l¹i, gi¶ sö x = ( ξn ) c , ε > 0 cho tríc bÊt kú. εKhi ®ã lim ξn = ξ ﾤ , ∃N nguyªn d¬ng sao cho n > N � ξn − ξ < . n 2 ε ε εLÊy r ﾤ : ξ−r < . Ta cã ξn − r = ξn − ξ + ξ − r ξn − ξ + ξ − r < + = ε víi 2 ...