Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp trình bày một số tính chất của hàm đơn diệp - tính chất của hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị lên các miền đặc biệt; cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TẤN MINHHÀM ĐƠN DIỆP VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐƠN DIỆP Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CÁM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Cô hướng dẫn luận vănTS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, đã nhiệt tình và tận tâm hướng dẫn em trong suốt thời gian thựchiện luận văn. Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học giảitích K17. Quý Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em những kiến thức bổ ích vàthú vị, làm tăng thêm khả năng tìm tòi nghiên cứu khoa học trong em. Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cô đã đọc và góp ý cho luận văn của em thêm sâusắc. Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng KHCN-SĐHtrường ĐHSP TP.HCM, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tậpcũng như trong suốt thời gian thực hiện luận văn này. Luận văn ắt hẳn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý nhiệt tình của quýThầy Cô. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của em, các số liệu, các kết quả củaluận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nàokhác. Tác giả luận văn MỞ ĐẦU Giải tích phức đã xuất hiện trong nửa đầu thế kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi của L.Ơle.Đỉnh cao của nó là trong thế kỉ XIX, chủ yếu bằng các công trình của Cauchy, Riemann,Weierstrass. Đến ngày nay, phần cổ điển của giải tích phức - lý thuyết hàm một biến phức - đãphát triển gần như trọn vẹn. Song, cũng chính điều này, thường xuất hiện những vấn đề chưađược giải quyết do cách đặt mới của các bài toán toán học cũng như các ứng dụng của nó trongthực tiễn theo đà phát triển của xã hội. Hàm đơn diệp là một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hàm một biến phức. Hàmđơn diệp có nhiều tính chất đẹp và được nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâmnghiên cứu. Việc tập hợp các kết quả đó một cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc là việc cầnthiết cũng như cần phát hiện thêm những vấn đề mới từ việc nghiên cứu đề tài. Đây cũng là lído em chọn đề tài này. Mục tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàm đơn diệp, một số kết quả cơ bản củahàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng của hàm đơn diệp. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp và các kết quả cơ bản nhất của hàm đơndiệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh của hàm đơn diệp; đánh giácận trên đối với môđun hệ số z 2 trong khai triển hàm đơn diệp; các cận đối với môđun của hàmđơn diệp. Chương 2: Từ những kết quả đạt được trong chương 1, trong chương 2 này trình bày mộtsố tính chất của hàm đơn diệp: tính chất của hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vịlên các miền đặc biệt; cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ1. Các khái niệm cơ bản C là mặt phẳng phức, X  C. - Giả sử z0  C và r > 0. Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z0, bán kính r là tập S(z0, r)= {z  C: |z-z0| < r}. Hình tròn S(z0, r) cũng thường gọi là  - lân cận của điểm z0. - Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z  C: 0 < |z-z0| < r gọi là  - lân cận thủng củađiểm z0  C. - Tập X gọi là mở nếu mọi z0  X, tồn tại hình tròn tâm z0, bán kính r > 0 sao cho S(z0, r)  C. - Điểm z0 được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z0, r), r > 0 đều chứa nhữngđiểm thuộc X và những điểm không thuộc X. Tập tất cả những điểm biên của X được gọi làbiên của X, kí hiệu ∂X. - Điểm z0 được gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn S(z0, r), r > 0 đều chứa mộtphần tử nào đó của X. Tập tất cả điểm dính của X gọi là bao đóng của X, kí hiệu X . - Điểm z0 được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại r > 0 sao cho S(z0, r)  X. o Tập tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X, kí hiệu X. o Dễ thấy X = X  ∂X, X = X∂X. - Tập X được gọi là đóng nếu X = X hay nói cách khác X  ∂X. - Tập X được gọi là bị chặn nếu có một số dương R sao cho hình tròn |z| < R chứa toànbộ tập X. - Điểm z0 được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z0 trong đó khôngcó một điểm nào của X. ...