Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô bao gồm những nội dung về độ đo; hàm đo được; bổ đề Urysohn; dung lượng trong không gian tôpô; tích phân Choquet theo dung lượng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Phan Phụng HiệpLÝ THUYẾT DUNG LƯỢNGTRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Phan Phụng Hiệp LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔChuyên ngành: Toán Giải TíchMã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy của tôi –PGS - TS. Đậu Thế Cấp, người đã giảng dạy cho tôi trong khóa học, cũngnhư đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩnày. Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận vănđã dành thời gian đọc và cho tôi những nhận xét về luận văn. Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của KhoaToán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại HọcTrường Đại Học Sư Phạm TP. HCM đã trang bị cho tôi kiến thức cũng nhưđã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp củatôi Trường THPT Mạc Đĩnh Chi đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc đểtôi được thuận lợi hơn trong quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa16 đã chia sẻ, giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia đìnhtôi, những người luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. TP. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2008 Phan Phụng Hiệp 2 MỤC LỤCLời cám ơn ……………………………………………………………….......1Mục lục ………………………………………………………………………2MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….3Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………...5 1.1. Độ đo ……………………………………………………………...5 1.2. Hàm đo được…...... …………….………………………………..18 1.3. Bổ đề Urysohn……………………………………………………19Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ………….21 2.1. Các định nghĩa và tính chất ……………………………………...21 2.2. Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo …………………………..28 2.3. Một số dung lượng đặc biệt ……………………………………...29Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ………...35 3.1. Định nghĩa ……………………………………………………….35 3.2. Tính chất………………………………………………………….36KẾT LUẬN ………………………………………………………………...45TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………...46 3 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết dung lượng được đưa ra bởi G. Choquet và được tiếp tục pháttriển bởi nhiều tác giả trong thời gian qua. Dung lượng đã được xét trongkhông gian đo được bất kỳ như là một khái quát của độ đo và gần đây là trongkhông gian mêtric R n với σ - đại số Borel của hai tác giả Nguyễn Nhụy và LêXuân Sơn. Vì vậy, tiếp tục mở rộng các kết quả trên một không gian tôpôtổng quát đó là lí do mà chúng tôi chọn đề tài này.2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng và kháiniệm tích phân Choquet theo dung lượng trong không gian tôpô Hausdorfftổng quát với σ - đại số Borel.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không giantôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượngcó giá là tập hữu hạn, và một số tính chất của tích phân Choquet theo cácdung lượng có giá là tập hữu hạn.4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dunglượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel.5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn được trình bày 3 chương: 4- Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lí thuyết độ đo có liên quan và bổ đềUrysohn.- Chương 2: Trình bày định nghĩa của dung lượng trên không gian tôpôHausdorff cùng một số tính chất của nó, mối liên hệ giữa dung lượng với độđo và một số dung lượng đặc biệt.- Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng vàchứng minh một số kết quả trong trường hợp dung lượng có giá là tập hữuhạn. 5 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1. Độ đo Kí hiệu P ( X ) là họ tất cả các tập con của tập X.Định nghĩa 1.1.1 Một họ M ⊂ P ( X ) được gọi là một σ - đại số trên X nếu thỏa mãn cácđiều kiện i. ∅ ∈ M . +∞ ii. { E j } +∞ ⊂ M thì UE j ∈M. j =1 j =1 iii. E ∈ M thì E c = X \ E ∈ M .Nếu điều kiện ii. được thay bởi điều kiện n ii’. { E j } n ⊂ M thì UE j ∈M j =1 j =1thì M gọi là một đại số. Cặp ( X , M) gồm tập X và một σ - đại số M trên X gọi là một khônggian đo được. Ta biết giao của một họ khác rỗng các σ - đại số các tập con của X làmột σ - đại số. Nếu E là một họ các tập con của X thì P ( X ) là một σ - đại sốchứa E . Do đó ta có σ - đại số M( E ) là giao của tất cả các σ - đại số chứa Evà σ - đại số M( E ) được gọi là σ - đại số sinh bởi ...