Lý thuyết Tôpô đại cương: Phần 2

Tiếp nối phần 1, phần 2 Tài liệu Tôpô đại cương gồm nội dung chương 5 trở đi. Nội dung Tài liệu nhằm trình bày có hệ thống những phần của tôpô đại cương có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, làm cơ sở cho giải tích hiện đại. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết Tôpô đại cương: Phần 2 CHƯƠNG 5 KHÔNG GIAN COMPĂC Khái n i ệ m k h ô n g gian tôpô c o m p ă c (cũng n h ư nhiều khái n i ệ m k h á c nghiêncứu t r o n g s á c h n à y ) là sự t r ừ u tượnHI > /ỉ. H ọ tất cả các tóp A có tính giao hữu hạn, —bui vì tạp D đ ư ợ c định h ư ớ n g nb ở i quan hệ , và do đó họ tất en các bao đỏng A cùng có tinh giao h ữ u h ạ n . nV Í A c o m p ă c , nôn tòn t ạ i điềm Ẳ chunư cho tất cả các A . Theo đ i n h lý 2 . 7 m ỗ i nđ i ế m .V nhu- t h ế là đ i ề m giới hạn của lưới ị.S , n ệ Dị. Ta chứng m i n h đ i ề u ngược nl ạ i . Giả sử X là không gian tôpô, trong đó m ỗ i l ư ớ i có điềm giới hạn, và (Ị là h ọcác tốp con đóng của - cỏ tính giao hữu hạn. Ta xác định /ì là họ tất cả các giaoh ữ u hạn các phan t ử của 7/ ; chỉ cần chửng minh rằng, r ị/) : lì ^ 73ị k h ô n gt r ố n g . Giao của hai phần t ử của ỉ l ạ i là phần tủ của 7 ) , do đ ố Cỗ đ ư ợ c đ i n hh ư ớ n g b ở i quan hệ ó Nếu l ử mỗi B £ Cỗ ta chọn ra mọt phần l ử S , thì BỊ S : /ỉ ^ (21 là l ư ớ i trong X, và do đó nỏ có diêm giới hạn nào d ỏ s. Nếu /í và c Blà hai phan t ử của Iu sao cho c c />. khi đỏ .S ^ c c / ; do đó l ư ớ i Ịs , / i £5 (31 c nh ộ i tụ trong tốp đ ó n g lì và vì vốy diêm giới hạn .S của nó thuộc / ỉ . N h ư v ố y d i ễ m .V rthuộc m ỗ i phần l ử của họ 3, nghĩa là giao của các phần tử của họ Ề k h ô n gtrống. C u ố i c ù n g , phần Ui ứ hai của (Tịnh lý suy r a từ ( 2 . 6 ) nói rằng, một đ i ề m làđ i ế m g i ớ i hạn của một l ư ớ i khi và chỉ khi một l ư ớ i con n à o đó hội tụ t ớ iđiềm này. B ô i k h i có thê m ô tả tính c o m p ă c theo thuốt ngữ tòn tại các đ i ể m giới hạncủa các tạp con. Một loạt bô đ ề d ư ớ i đày và định l ỹ ở sau chứng tỏ đ i ề u đ ó .N h ữ n g bài tốp (V cuối c h ư ơ n g chỉ ra rằng, những hạn chế đặt ra là cần t h i ế t .Việc d ù n g một loại khái n i ệ m điềm hội tụ đế p h á t biêu các kết q u ả là thuốn t i ệ n .Ta nói, d i ê m X là điềm (U — giới hạn của tốp .1 khi và chỉ k h i m ỗ i l â n cốn của Xchứa m ộ i số vô hạn diêm của tạp Ả. M ỗ i diêm Cú — giới hạn của m ộ t tốp bợp làđ i ế m g i ớ i hạn, và nếu không gian là 7 j , thì điều ngược l ạ i cũng đ ú n g . 3. Bồ dè. Mỗi dãy tronq khòm/ gian tôpô có điềm Dinh lý sau d à y cho ta m ố i liên hệ giữa các khái n i ệ m dãy, d ã y con, d i ễ mgiói hạn và tinh c o m p ă c . 5. Định lý. Giả sử X lù không gian tùpô, khi đó các diều kiện dưới đàyHen hệ với nhau như sau. Đói với tát cử các khổng gian (a) tương đương với (b),và (ủ) kéo theo (a). Shi X thỏa mãn tiên dè đếm được thứ nhát, thì (a), (b) và (c)tương dương. Nêu X thỏa mãn tiên đê đếm được thứ hai thì tắt cả bốn điêu kiệntương đương. Nếu X là không gian giả metric, thì lừ mỗi một trong bốn điều kiệnđêu suy ra X thỏa mãn tiên dê đem được thứ hai, và bôn điêu kiện tương đương. (a) Mỗi tập con vô hạn của X có diêm to — giới hạn. (b) Mỗi dãy trong X có diêm giới hạn. (c) Đỗi vói mỗi dãy trong X tỉn tại dãy con hội tụ tới một điềm nào đổ của X. (ả) K h ô n g gian là c o m p ă c . CHỬNG MINH. T ừ bỗ đẽ 5.3 suy ra rằng, (a) t ư ơ n g đ ư ơ n g vói (b) và dodẩy là l ư ớ i , n ê n 5.2 chi ra r ằ n g ((I) k é o theo (a). N ế u X thỏa mãn t i ê n đề đ ế mdược t h ứ nhất, thi do 2.8, (b) và (c) t u ô n g đ ư ơ n g . Nếu X thỏa m ã n tiên đề đ ế mđược t h ứ hai, thì mõi phồ mở có phồ con đ ế m được. Áp dụng bồ de 5.4, ta có b ấ uđiều k i ệ n t ư ơ n g đ ư ơ n g . Nếu X là k h ô n g gian giả metric, khi dó X thỏa m ã n tiênđề đ ế m đ ư ợ c t h ứ nhất, và do đỏ ba đ i ề u k i ệ n đ ầ u t u ô n đ ư ơ n g , đ ồ n g t h ờ i m ỗ imột trong c h ú n g đ ư ợ c suy ra từ t i n h c o m p ă c . Định lý sẽ được chứng minh n ế uta chỉ ra rằng k h ô n g gian giả metric, trong đó m ỗ i tập con vò hạn có đ i ế m gióihạn, là lách đ ư ợ c và do (tó thỏa m ã n tiên đề đ ế m đ ư ợ c t h ử hai. Giỗ ỳử X làk h ô n g gian giả môtric n h ư thế. V ớ i r > 0 l ũ y ỳ, ta xét họ l ấ t cả c á c tập À m àkhoảng cách giữa hai đ i ề m bất kỳ cồa .1 k h ô n g n h ỏ hơn V. Do 0.25 d ễ (làng thấyrằng, t r o n g họ n à y có phần tử t ố i đ ạ i . l . T ậ p hợp . nhất thiết h ữ u b ạ n , hởi vì ...