Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định nêu khái niệm Poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về Tôpô đại cương; dàn của các Tôpô T, Poset của các Tôpô T và một số nội dung khác. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Thanh Phong MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNHChuyên ngành: Hình học và TôpôMã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CÁM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn HàThanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tácgiả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiềutài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học SưPhạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phươngpháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà toán họcnước ngoài, đặc biệt là giáo sư Offia T. Alas đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan. Xinchân thành cám ơn giáo sư. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn VănTrỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọiđiều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viêntác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2010 Tác giả Trần Thanh Phong MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánhhai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong công trình của mình: “G. Birkhoff, On thecombination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự sosánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quảđược hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và  là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thô hơn hoặc bằng với   nếu  là mộttập con của   . Đối với hai tôpô bất kì  và   trên tập hợp, có một tôpô     (kí hiệu chínhxác hơn là     ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tôpô  và   , có một tôpô    gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và   . Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rờirạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn củatất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứatrong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ cáctôpô. Các bài toán về dàn các tôpô được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 củathế kỉ trước. Chẳng hạn như công trình của N.Smythe và C.A. Wilkins về các không gianHausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); công trình của Anne K. Stiener về phần bùtrong các dàn tôpô T1 , cấu trúc và phần bù trên dàn các tôpô (1966); công trình của A. R.Padmanabhan và B.V. Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967,Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn”. Đến năm 1975, Roland E.Larson và Suan J. Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô. Do đó, côngtrình này được nhiều nhà toán học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trongquá trình nghiên cứu dàn của các tôpô. Trong quá trình nghiên cứu về dàn các tôpô, ta thấy có khái niệm về poset (partiallyordered set) của các tôpô. Và gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu về poset của cáctôpô. Ví như D.W. McIntyre và W.S. Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trongposet của các tôpô có số chiều 0, các tôpô Tychonoff, các tôpô chính quy; Offlia T. Alas vàRichard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô T1 .Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tôpô T2 . Bài toán về poset tôpô được nhiều nhà toán học quan tâm và còn rất nhiều bài toán mở.Nghiên cứu các bài toán về poset tôpô là vấn đề mang tính thời sự. Đề tài nghiên cứu củachúng tôi đặc biệt quan đến vấn đề này với tên đề tài là “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSETTÔPÔ TRÊN MỘT TẬP ...