Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi Archimede trên một trường

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi Archimede trên một trường gồm có 3 chương, trong đó chương 1 - Kiến thức cơ bản, chương 2 - Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của trường, chương 3 - Nhóm giá trị và trường thặng dư.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi Archimede trên một trườngTHƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOVIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ ĐẶNG THỊ THANH THẢOMỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN  Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao họckhóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM. Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đếnPGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. HồChí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tậntình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúpđỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn này. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ............................................................................................. Lời cảm ơn ...............................................................................................1 Mục lục ....................................................................................................2 LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................3Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Một số định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối trên trường ......5 1.2. Giá trị tuyệt đối phi Archimedean ....................................................9 1.3. Một số tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối phi Archimedean......14Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAOĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đủ................16 2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đóng đại số ..25Chương 3 - NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ 3.1. Nhóm giá trị ....................................................................................39 3.2. Trường thặng dư .............................................................................45 3.3. Ví dụ................................................................................................53 KẾT LUẬN ..........................................................................................54 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................55 LỜI NÓI ĐẦUNhư ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Qhoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương vớigiá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường tađược trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầyđủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archimedean p ta được trường Qp , lấy baođóng đại số của Qp rồi làm đầy đủ trường này ta được trường C p . Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trịtuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giámột trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồntại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộngđó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng nhưthế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giátrị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối ,giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệtđối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt làhai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên Q và giá trị tuyệt đối trên trường cácphân thức hữu tỉ K  x  . Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số củamột trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lýmở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộngnày,… Chương 3: Nhóm giá trị và trường thặng dư: trình bày các khái niệmnhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giá trị tuyệt đối dựa vào nhómgiá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường với trường baođủ, trường bao đóng của nó,… Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có nhữngthiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo vàlượng thứ.Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƯỜNGĐịnh nghĩa 1.1.1: Cho F là trường, ánh xạ | . |: F  R được gọi là giá trịtuyệt đối trên trường F nếu thoả các điều kiện sau: i. | x | 0 x  F ; | x | 0  x  0 ii. | x.y || x | . | y | x , y  F iii. | x  y || x |  | y | x , y  FVí dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trịtuyệt đối theo nghĩa trên.Ví dụ 1.1.3: Cho trường F bất kì. Định nghĩa: 1 nếu x  0 |x| = 0 nếu x = 0là giá trị tuyệt đối trên F, gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường.Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản sau: 1) |1|=1 1 2) | x 1 | |x| 3) Nếu trường F hữu hạn thì trên F có duy nhất một giá trị tuyệt đối là giá trị tuyệt đối tầm thường.Định nghĩa 1.1.4: 1) Cho F là trường, |.| là giá trị tuyệt ...