Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương đưa ra những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán; các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán; nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.I nửa nguyên tố.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Thị Tuyết Mai MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬANGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ GOLDIE VỀ SỰ TỒN TẠI VÀNH CÁC THƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gởi lời tri ân PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn tôi trongsuốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM vàtrường Đại học Khoa Tự Nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường ĐạiHọc Sư Phạm TP.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoáhọc. Tôi xin cám ơn quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc, nhận xét và đóng góp những ýkiến quý báu về luận văn này. Cảm ơn tất cả các bạn học viên Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 18 đã cùng tôi traođổi hoàn thiện kiến thức trong quá trình học tập. Cảm ơn tất cả các bạn bè cùng đồng nghiệp đã quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trìnhhọc tập. Cuối cùng tôi xin dành tất cả những tâm tình sâu lắng nhất đến gia đình, đặc biệt là mẹ tôitrong thời gian điều trị căn bệnh nan y – bệnh ung thư – người đã không ngừng động viên tôihoàn thành luận văn. Có thể luận văn của tôi không hoàn thiện nhưng trong tim mẹ tôi nó là đẹpnhất, hay nhất, đáng trân trọng nhất. Cảm ơn bố mẹ đã cho con được đến trường, được có mộtcuộc đời tươi đẹp, được trải nghiệm hạnh phúc nhất đời mỗi con người là được làm những gìmình thực sự muốn và được chăm sóc mẹ. Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi sai sót, kính mong được sựthông cảm và góp ý xây dựng của quý thầy cô cùng các bạn. TP. HCM năm 2010 Vũ Thị Tuyết Mai MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Trong lĩnh vực lý thuyết các vành không giao hoán, ta đã biết để xây dựng vành cácthương của các vành không giao hoán các nhà toán học đã xây dựng theo hai cách. Cách cổ điểncòn gọi là “Địa phương hóa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường cácthương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái(hoặc phải) của vành R không giao hoán. Đối với cách xây dựng này các nhà toán học nhậnthấy không phải tất cả các vành không giao hoán đều xây dựng được vành các thương. Do đóhai nhà toán học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạmgọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie. Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luôn luôn xây dựng được các thươngtheo nghĩa cổ điển và do đó các P.I vành nguyên tố cũng có thể xây dựng được theo nghĩa củaOre và Goldie. Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố. Liệu các P.I vành nửanguyên tố có thể luôn luôn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ?2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đó. Luậnvăn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện của Orevà Goldie về sự tồn tại vành các thương.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành không giao hoán. Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt.4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích và so sánh.5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương.Chương 1. Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán. Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vànhkhông giao hoán có liên quan đến các chương sau. Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổđề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh chúng. Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài.Chương 2. Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán. Trong chương này chúng tôi nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành các thương, theocách cổ điển và hiện đại. Các định lý hầu hết chúng tôi đều chứng minh một cách tường minh.Chương 3. Nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.Inửa nguyên tố. Chúng tôi sẽ chỉ ra một ví dụ về sự không tồn tại của vành các thương theo nghĩa của Orevà Goldie khi cho một vành P.I nửa nguyên tố. CHƯƠNG 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN1.1. Tóm tắt những kiến thức cơ sởĐịnh nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả đảo (đối vớiphép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia).Định nghĩa 1.1.2 * M được gọi là R -modul nếu tồn tại ánh xạ f : M  R  M  m, r   mrthỏa: i ) m  a  b   ma  mb ii )  m  n  a  ma  na với m, n  M ; a, b,1 R iii )  ma  b  m  ab  * M được gọi là R -modul trung thành nếu M .r   0  thì r  0Định nghĩa 1.1.3 Cho M là R -mođun, ta định nghĩa A  M  là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóatoàn bộ M. A  M   r  R M .r   0 Bổ đề 1.1.4 A  M   r  R M .r   0  là ideal hai phía của R và M là R -modul trung thành. A M  M là R -mođun trung thành  A  M   (0)Định nghĩa 1.1.5 M được gọi là R -modul bất khả quy nếu M   0  và M chỉ có hai modul con tầmthường là  0  và M .Bổ đề 1.1.6 Nếu M là R -modul bất khả quy thì M  R ...