Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến giới thiệu tới các bạn những nội dung về các định lí về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chặn; nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến đối số lệch.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thanh PhúcNGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thanh PhúcNGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾNChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tớiPGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại Học Sư PhạmTP.Hồ Chí Minh vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của thầy đối với tôi trongthời gian làm luận văn. Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư PhạmTP.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, PhòngKhoa Học Công Nghệ và Phòng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sư PhạmTP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tạitrường. Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng chấm luận văn đãdành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoànthành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm vàđộng viên giúp tôi hoàn thành luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2015. MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcMỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN ................................................................... 4 1.1. Phát biểu bài toán .................................................................................. 4 1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính ........................................................... 4 1.3. Định lí về sự tồn tại của nghiệm bị chặn ............................................ 12 1.4. Định lí về sự duy nhất của nghiệm bị chặn......................................... 25Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN ĐỐI SỐ LỆCH .................. 34 2.1. Phát biểu bài toán ................................................................................ 34 2.2. Nghiệm bị chặn của bài toán (2.1), (2.2) ............................................ 35 2.3. Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến đối số lệch ........................................................................................... 47 2.4. Ví dụ .................................................................................................... 50KẾT LUẬN .................................................................................................... 54TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 56 MỘT SỐ KÝ HIỆU• N là tập hợp tất cả các số tự nhiên.• R là tập hợp tất cả các số thực, R= + [0, +∞) .• C ([ a, b ];R ) : Tập các hàm liên tục trên đoạn [ a, b ] . Khi đó C ([ a, b ];R ) với =chuẩn u C sup { u (t ) : t ∈ [ a, b ]} là một không gian Banach.• Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R . Vớiu ∈ Cloc ([ a, +∞[ ; R )= ta có u sup { u (t ) : t ≥ a} .• C0 ([ a, +∞ ) ;R ) : Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R sao cho tồn tại defgiới hạn hữu hạn u ( +∞ ) = tlim →+∞ u (t ) .• C loc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số u : [ a, +∞ ) → R liên tục tuyệt đối trênmỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) .• ) ; R ) C0 ([ a, +∞ ) ; R )  Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) . C 0 ([ a, +∞=• L ([ a, b ]; R ) : các hàm khả tích Lebesgue trên đoạn [ a, b] . Khi đóL ([ a, b ]; R ) với chuẩn f = ∫ f dx là một không gian Banach. b a• Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số p : [ a, +∞ ) → R khả tích Lebesgue vớitopo hội tụ trung bình trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) .• K : Tập hợp các hàm số F : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → L ([ a, +∞ ) ; R ) là toán tử locliên tục thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương, nghĩa là với mỗi r > 0 ,tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) để F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa v ≤ r• ( ) ( ) K ab : Tập hợp các hàm số F : C [ a, b ] ;R → L [ a, b ];R là toán tử liêntục thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là với mỗi r > 0 , tồn tạiqr ∈ Lloc ([ a, b ]; R ) để F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa v ≤ r .• K ([ a, b ] × A; B ) : Tập hợp các hàm số f : [ a, b ] × A → B thỏa mãn điều kiệnCarathéodory ( A ⊂ R n , B ⊂ R ); nghĩa là ∀x ∈ A , f (., x) : [ a, b ] → B là hàm đođược, f (t , . ) : A → B là hàm số liên tục theo biến thứ hai (hầu khắp nơi trên[ a, b] ) và với mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ L ([ a, b ];R ) để f (t , x) ≤ qr (t ) hầu khắp nơitrên [ a, ...