Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous tập trùng tìm hiểu về nghiệm tuần hoàn của hệ động lực; nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm non Autonomous.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như QuỳnhNGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như QuỳnhNGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, thầy đã tậntình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốtkhóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô và các anh, chị công tác tại phòng sauđại học đã tạo điều tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Krông Ana,quí thầy cô, bạn bè cùng gia đình đã tạo điều kiện cả về vật chất và tinh thần để tôihoàn thành khóa học.Người viếtNguyễn Thị Như Quỳnh MỤC LỤCLỜI CẢM ƠNMỤC LỤCLỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC .......................... 3 2.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................ 3 2.2. Kết quả tồn tại (I) ................................................................................. 7 2.3. Kết quả tồn tại (II) .............................................................................. 20Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS ....................................................... 283.1. Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàmnonautonomous ............................................................................................... 283.2. Một số áp dụng ......................................................................................... 44KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 50 -1- LỜI MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình vi phân đã có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa họcvà xã hội như trong vật lí, sinh học... Luận văn này trình bày lại toàn bộ nội dungcủa bài báo [6],[7]. Bao gồm trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của hệđộng lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schaudernonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder và sự tồn tại nghiệm tuầnhoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm tuần hoàn nonautonomous dựa trênvấn đề về giá trị riêng của toán tử hoàn toàn liên tục trên nón trong không gianBanach. Các kết quả trên được mở rộng nghiên cứu trong lí thuyết như trong môhình toán sinh học, động lực học dân số. Như phương trình vi tích phân Volterra,mô hình tổng quát n loài cạnh tranh Gilpin – Ayala. Luận văn được chia thành các chương như sauChương 1: Kiến thức chuẩn bịChương 2: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến non-autonomous bậc haiChương 3: Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàmnonautonomous -2-Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊĐịnh lí Ascoli – Arzela. Cho X là không gian mêtric compact. Tập A ⊂ CK ( X )là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và đẳng liên tục.Định lí Schauder. Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E vàf : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compắc tương đối. Thì f có điểm bấtđộng trong C .Định lí. (Leray-Schauder nonlinear alternative)Cho E là không gian Banach, D là tập mở, bị chặn trong E , 0 ∈ D . ChoT : D → E là ánh xạ compắc. Khi đó • Hoặc tồn tại x ∈∂D và λ ≥ 1 sao cho Tx = λ x . • Hoặc T có điểm bất động trong D .Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và P là một tập đóng, không rỗng củaX . P là nón nếu(i) x, y ∈ P và α , β ∈  + thì αx + β y∈P.(ii) x ∈ P và − x ∈ P thì x = 0 .Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh một thứ tự riêng trong X . Ta xác định” ≤ ” trong P bởix ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P .Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và D ⊂ X , 0 ∈ D . Toán tử L : D → Xthỏa L0 = 0 , xλ ≠ 0 được gọi là véctơ riêng của giá trị riêng λ của L nếuLxλ = λ xλ . -3- Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI2.1. Giới thiệu bài toánChúng ta sẽ nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm dương tuần hoàn chu kì T của hệđộng lực non-autonomous bậc hai x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1)  (Trong đó a ( t ) , e ( t ) ∈  / T ,  N ) , f ( t , x ) ∈  (  / T  ×  \ {0},  ) ...