Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường

Sau đây là luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường. Luận văn được thực hiện nhằm làm rõ về các lớp nhóm cơ bản, một số tính chất chung, các tính chất đóng, điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ của nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu GiangNHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, ngườiđã trực tiếp hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi đểtôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tậntâm giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức cho tôi và cho lớp Đại số K23 trong thời gian tôihọc tập chương trình Cao học. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn quantâm, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình tôi làm luận văn. MỤC LỤC TrangTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcBảng kí hiệu dùng trong luận vănMỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................. 3 1.1. Các khái niệm mở đầu .............................................................................................. 3 1.2. Tích trực tiếp – Tích trực tiếp con............................................................................ 9 1.3. Nhóm con Frattini .................................................................................................. 10 1.4. Dãy Abel – Nhóm giải được .................................................................................. 12 1.5. Dãy tâm – Nhóm lũy linh ....................................................................................... 14 1.6. Nhóm con dẫn xuất ................................................................................................ 19 1.7. Nhóm siêu giải được .............................................................................................. 20 1.8. Các định lý về sự chẻ ra ......................................................................................... 21 1.9. Nhóm Abel sơ cấp .................................................................................................. 23Chương 2. NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG ..... 26 2.1. Các lớp nhóm cơ bản.............................................................................................. 26 2.2. Một số tính chất chung ........................................................................................... 26 2.3. Các tính chất đóng .................................................................................................. 36 2.4. Điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ...................................................... 42KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 46TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 47 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂNKí hiệu Ý nghĩa[G : H ] Chỉ số của H trong GNG ( H ) Chuẩn hóa tử của H trong GCG ( X ) Tâm hóa tử của X trong GZ (G ) Tâm của GHx Nhóm con liên hợp của H trong G H,K Nhóm con sinh bởi H và KAut ( G ) Nhóm các tự đẳng cấu của GH char G H là nhóm con đặc trưng của GΦ (G ) Nhóm con Frattini của G[ a, b] = aba −1b−1 Hoán tử của a và bG = [G, G ] Nhóm con dẫn xuất của GGp = gp Nhóm con sinh bởi g p với g ∈ G , p nguyên tố 1 MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết giao của tất cả các nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G nếu cóđược gọi là nhóm con Frattini của G. Nếu giao này là tầm thường thì ta nói G là nhómvới nhóm con Frattini tầm thường. Lớp các nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầmthường đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm hữu hạn và nó đã thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học như H.BECHTELL, C.CHRISTENSEN, L. –C. KAPPEvà J.KIRTLAND, J.WIEGOLD, C. R. B. WRIGHT với nhiều kết quả thú vị. Trong bài báo [11], ta biết một đặc trưng quan trọng, G là nhóm hữu hạn với nhómcon Frattini tầm thường nghĩa là mỗi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G cóphần phụ thực sự, và khi đó G được gọi là nS – nhóm. Bắt đầu từ nghiên cứu của chínhmình trong bài báo [11], trong bài báo [12], hai tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPEvà JOSEPH KIRTLAND tiếp tục nghiên cứu một cách chi tiết về lớp các nS – nhóm hữuhạn, lớp các nC – nhóm hữu hạn và thu được các kết quả sau: Nếu G lũy linh thì nhómcon chuẩn tắc không tầm thường N của G là nS – nhóm nếu và chỉ nếu N là Abel sơ cấp,nếu G giải được thì G và tất cả các thư ...