Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian tập trung tìm hiểu về không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, phổ của toán tử, nửa nhóm các toán tử liên tục đều và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã tìm và tham khảo ở nhiều sách vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn, luận án đã có. Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép và xin chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Tác giả Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy – GS.TS Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn và luôn tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã hết lòng dạy bảo và truyền đạt kinh nghiệm trong suốt hai năm qua. Cảm ơn bạn bè, các bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 đã luôn khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa vững chắc giúp tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình. Học viên Đoàn Thị Thủy Tiên. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 5 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ....................................................... 5 1.2. Không gian Hilbert............................................................................... 7 1.3. Lý thuyết toán tử ................................................................................ 10 1.4. Phổ của toán tử ................................................................................... 13 1.5. Không gian C ([ 0, T ]; H ) ................................................................... 14 1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều .................................................... 14 1.7. Định nghĩa bài toán không chỉnh ....................................................... 18 1.8. Lược đồ chỉnh hóa ............................................................................. 19 1.9. Bổ đề Gronwall .................................................................................. 22 1.10. Bổ đề: một số bất đẳng thức được sử dụng...................................... 22 Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH ........................................................... 24 2.1. Các định lý quan trọng ....................................................................... 24 2.2. Chứng minh các định lý quan trọng ................................................... 26 Chương 3. ÁP DỤNG .................................................................................... 41 KẾT LUẬN .................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 1 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lí do tại sao bài toán này được gọi là ngược thời gian). Phương trình parabolic ngược thời gian là lĩnh vực được nghiên cứu rất sôi động thu hút nhiều nhà toán học nổi tiếng trong và ngoài nước bời nó có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật như: vật lý, cơ học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nay ở nước ngoài đã có hơn 300 công trình công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín, trong đó có sự tham gia của nhiều nhà toán học nổi tiếng như John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, có thể kể đến là hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu là Đinh Nho Hào và Đặng Đức Trọng. Ngoài ra, một số nhà toán học có tên tuổi cũng quan tâm hướng nghiên cứu này như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét bài toán giá trị cuối sau ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) = ( 0 ≤ t 2 0 < lll 1 ≤ 2 ≤ ..., lim p = ∞. p →∞ Cho ϕ ∈ H là giá trị cuối đã được xác định và f :  × H → H là một hàm Lipschitz. Ta cũng biết rằng bài toán phi tuyến không thuần nhất ( 0.1) là bài toán không chỉnh. Thật vậy, lời giải không nhất thiết phải tồn tại ϕ ∈ H , và ( 0.1) không ổn định vì S ( t ) không là họ các toán tử tuyến tính bị chặn. Một ...