Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng

Trong luận văn, tác giả đã trình bày khá đầy đủ về các tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Đặc biệt chúng tôi đã trình bày khá chi tiết về các ứng dụng của số Bernoulli, đa thức Bernoulli trong việc xây dựng zeta – hàm số học cũng như độ đo p – adic.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao TríSỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành : Đại số và lí thuyết sốMã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn củaPGS. TS Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kếtquả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôixin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình. LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn đầu tiên, tôi xin gởi tới PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mựcvà nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học cao họcvà đặc biệt là khi thực hiện luận văn. Nhờ thầy, tôi đã hoàn thành tốt luận văn của mình vàqua đó tôi học được từ thầy cách làm việc khoa học. Tiếp đến tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán – Tin TrườngĐại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS. Trần Huyên,TS. Phạm Thị Thu Thủy. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy để trang bị cho tôi nhữngkiến thức cơ bản trong bước đường nghiên cứu toán học. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban Giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô phòng Sau ĐạiHọc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập trong suốt quá trình học cao học. Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS. Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tôingọn lửa đam mê toán học từ khi tôi còn là một sinh viên sư phạm. Thầy luôn theo sát mọibước đi của tôi từ lúc tôi ra trường đến nay. Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ tôi. Những người luôn ủng hộ mọi quyết định của tôitrong cuộc đời. Nhờ họ tôi mới có thêm nghị lực để vượt qua những khó khăn trong suốtquá trình học tập. Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, tôi xin gởi đến vợ và con gái yêu của tôi. Chínhhọ là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho tôi trong suốt quá trình học cao học và hoàn thànhluận văn. TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018 Đỗ Cao Trí MỤC LỤCLỜI CAM ĐOANLỜI CÁM ƠNDANH MỤC CÁC KÍ HIỆUMỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................... 2 1.1.Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường ............................................... 2 1.2. Chuẩn phi Archimede ............................................................................................... 3 1.3. Trường số p – adic p .............................................................................................. 5 1.4. Phân phối p – adic ................................................................................................... 10 1.5. Độ đo và tích phân p – adic..................................................................................... 13CHƯƠNG 2 SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI ......................................... 15 2.1. Số Bernoulli và đa thức Bernoulli........................................................................... 15 2.2. Tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli .................................................... 17 2.3. Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli ....................... 21CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI . 30 3.1. Ứng dụng của số Bernoulli để tính khai triển Laurent của tan và cot .................... 30 3.2. Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli. ............................................................... 31 3.3. Zeta – hàm số học ................................................................................................... 36 3.4. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................. 38KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 47TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................ 48 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. : Tập các số hữu tỉ. : Tập các số thực. p : Tập các số nguyên p – dic. : Chuẩn thông thường.p : Chuẩn p – adic.B  a, r  : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong p .B  a, r  : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong p .a   pN  : Khoảng trong p .xa , N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  .Bk : Số Bernoulli thứ k.Bk  x  : Đa thức Bernoulli thứ (bậc ) k.n  : Tổ hợp chập k của n phần tử .k  B ,k : Phân phối Bernoulli thứ k. f : Tích phân của hàm f ứng với độ đo  .∎ : Kết thúc chứng minh. 1 ...