Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một nêu lên sự dao động của nghiệm, khảo sát sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân không tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỐ CHÍ MINH Vũ Thị Lệ Thủy SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC MỘTChuyên ngành: Toán Giải TíchMã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy PGS. TS. Lê Hoàn Hóa và Thầy TS.Trần ĐìnhThanh đã tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin học Trường Đạihọc Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi từ ngày đầu tiên vào trường Sư phạmcho đến khi tôi học Cao học. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô đã tham giagiảng dạy lớp Cao học Giải Tích khóa 18. Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, khoa Khoa Học Cơ Bản Trường Cao ĐẳngCông Nghệ Thủ Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể yên tâmtham gia đầy đủ khóa học. Tôi xin cảm ơn Khoa Toán – Tin học và Phòng KHCN&SĐH Trường Đại học Sư phạmTP.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và hoàn thành luận văn Caohọc . Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, các bạn học viênlớp Cao học Giải tích K.18 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. TP. Hồ Chí Minh, Tháng 8 năm 2010 Vũ Thị Lệ Thủy MỞ ĐẦU Trong thời đại khoa học công nghệ, khoa học sinh học phát triển nhanh chóng như hiệnnay, đã có nhiều nghiên cứu cho thấy những ứng dụng quan trọng của phương trình vi phân đốisố lệch vào các lãnh vực vật lí, sinh học, sinh thái học và sinh lí học. Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu nhiều về phương trình viphân đối số lệch. Đặc biệt, quan tâm nghiên cứu sự dao động của nghiệm cho phương trình viphân bậc một. Trên tinh thần tìm hiểu rõ hơn về vấn đề dao động của nghiệm cho phương trình vi phântrung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyến tính, tôi chọn đề tài này làm nộidung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu trên. Luận văn đi sâu vào nghiên cứu hai trong những hướng cơ bản của Lý thuyết định tínhphương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là sự dao động và tính ổn định củanghiệm cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyếntính. Luận văn gồm có ba chương. Chương 1, trình bày một số kết quả về sự dao động củanghiệm cho phương trình vi phân đối số lệch bậc một: n d dt x(t ) +  P (t ) x(t  a ) i 1 i i = 0.trích từ bài báo 1Chương 2 của luận văn, khảo sát sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân khôngtuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một: d  x(t )  px(t  a) + Q(t) f(x(t - b)) = 0, t  t0 dttrích từ bài báo  2 .Chương 3 của luận văn, trình bày một số kết quả về tính ổn định của nghiệm cho phương trìnhvi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một: d  x(t )  P(t ) x(t  a) + Q(t) x(t- b) = 0, t  t0 dttrích từ bài báo 3 . Trong luận văn một số kết quả được sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định lí hoặc bổđề và không chứng minh. CHƯƠNG 1. SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘTXét phương trình vi phân đối số lệch cấp một: x (t ) + P(t)x(t - a) = 0 (1.1)trong đó:i) P(t)  0, là hàm liên tụcii) a: là hằng số dươngHay tổng quát hơn: n x (t ) +  P (t ) x(t  a ) i 1 i i =0 (1.2)trong đó:i) Pi (t )  0 là những hàm liên tục, với i 1, nii) ai là những hằng số dương, với i 1, n Với một nghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)), chúng ta có một hàm x  C t   ,   ,  , với   a ( hay   maxai  ), t  t . 1inNghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)) được gọi là dao động nếu nó có vô số không điểm .Chúng ta sẽ thiết lập những điều kiện cho sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân(1.1) (hay (1.2)).1.1. Những bổ đề.Bổ đề 1.1:Nếu t  ai lim sup t   t Pi ( s )ds  0với i nào đó và x(t) là một nghiệm dương của phương trình (1.2) thì x(t  ai ) lim inf  (1.3) t  x(t )Chứng minh. tk  aiTheo giả thiết, tồn tại hằng số dương d và dãy tk  sao cho: tk   , khi k   và  Pi ( s)ds  d ...