Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet tập trung tìm hiểu về định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet; phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet; bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc HiếuTÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc HiếuTÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMETChuyên ngành : Hình Học và TôpôMã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên cao học khóa 23trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu luận văn. Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Tiến sĩNguyễn Trọng Hòa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập cũngnhư tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcLỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................... 1Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 3 1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic ...................... 3 1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet ..................................................... 3 1.1.2. Trường số phức p-adic ........................................................................ 4 1.2. Không gian xạ ảnh  n ................................................................................ 9 1.3. Giống của đường cong ............................................................................. 10 1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet .............. 15 1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số ......................................... 24Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNGACSIMET .......................................................................................................... 27 2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet......... 27 2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet............. 30 2.3. Bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet ............................................ 37 2.3.1. Trường hợp 1-dạng vi phân............................................................... 37 2.3.2. Trường hợp tổng quát........................................................................ 39KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46 1 LỜI NÓI ĐẦU Một đa tạp phức X được gọi là hyperbolic (theo nghĩa của Brody) nếu mọiánh xạ chỉnh hình (ánh xạ giải tích) đi từ mặt phẳng phức  vào X là hằng.Theo định lý “nhỏ” Picard, một hàm nguyên mất hơn hai giá trị phải là hằng.Điều này tương đương với 1 {0,1,∞} là hyperbolic. Định lý Picard cũngchứng tỏ rằng một mặt Riemann có giống 1 bỏ một điểm và các mặt Riemann cógiống bé nhất 2 là hyperbolic. Trường hợp với số chiều lớn hơn là một bài toánkhó hơn nhiều. Một câu hỏi được đưa ra liệu rằng các đa tạp phức loại tổng quátcó là hyperbolic. Kobayashi [17] và Zaidenberg [23] đã đưa ra phỏng đoán rằngphần bù của siêu mặt “tổng quát” trong  n có bậc bé nhất 2n + 1 là hyperbolic.Đã có rất nhiều kết quả liên quan đến phỏng đoán này. Phỏng đoán này đã đượckiểm chứng bởi Green [15] trong trường hợp 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổngquát. Tổng quát hơn, Babets [4], Eremenko-Sodin [12] và Ru [19] đã độc lậpđưa ra kết luận  n {2n + 1 siêu mặt ở vị trí tổng quát} là hyperbolic. Khi n = 2,phỏng đoán đúng cho trường hợp bốn đường cong tổng quát (xem [10]). Đối vớitrường hợp ba đường cong tổng quát C1 , C2 , C3 , Dethloff, Schmacher và Wong 3([10], [11]) chứng tỏ   Ci là hyperbolic nếu deg Ci ≥ 2, i = 3 1,2,3. i =1 Cho K là một trường đóng đại số có đặc số tùy ý, đầy đủ với giá trị tuyệt đối. không Acsimet. Một đa tạp X trên K được gọi là K - hyperbolic nếu mọiánh xạ chỉnh hình từ K vào X là hằng. Khác với trường số phức, việc nghiêncứu các bài toán hyperbolic trên trường không Acsimet dễ hơn nhiều. Ví dụ nhưhàm nguyên trên trường không Acsimet không có không điểm là hằng nghĩa là1 {0,∞} là hyperbolic. Định lý Pica ...