Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết thế vị phẳng vào phép nội suy các không gian Lp và phép xấp xỉ đều

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết thế vị phẳng vào phép nội suy các không gian Lp và phép xấp xỉ đều trình bày các kết quả của lý thuyết thế vị trong mặt phẳng phức; chứng minh định lý nội suy Riesz – Thorin; kết quả của định lý Runge về xấp xỉ đều bởi đa thức qua các định lý; điều kiện cần và đủ để một dãy điểm tách được trong một đường tròn đơn vị là dãy nội suy đối với các hàm điều hòa dương.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết thế vị phẳng vào phép nội suy các không gian Lp và phép xấp xỉ đều BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HÒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN QUANG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT THẾ VỊ PHẲNG VÀO PHÉP NỘI SUY CÁC KHÔNG GIAN LP VÀ PHÉP XẤP XỈ ĐỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy TS. Nguyễn Văn Đông, người đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài. Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn. Xin chân thành cảm ơn. TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2009 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : tập số tự nhiên : tập số nguyên : tập số hữu tỉ : tập số thực : tập số phức  : tập số phức mở rộng ( mặt cầu Rieman) B( ,  ) , ( ,  ) : hình tròn mở tâm  , bán kính  B ( ,  ) : hình tròn đóng tâm  , bán kính  supp  : giá của độ đo  supp  : giá của hàm  D : biên của D int( D) : phần trong của D diam  D  : đường kính của D A( D) : tập tất cả các hàm chỉnh hình trên D H ( D) : tập tất cả các hàm điều hòa trên D S (U ) : tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên U C n ( D) : tập tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp n trên D Cc  D  : tập tất cả các hàm liên tục có giá compact D C  ( D ) : tập tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên D Cc  D  : tập tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên D # A; A : lực lượng của tập A H  : đại số các hàm giải tích bị chặn, trong đĩa đơn vị MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu Lý thuyết thế vị là tên gọi cho một lĩnh vực được nghiên cứu rộng rãi của giải tích phức bao gồm các vấn đề liên quan đến các hàm điều hòa, điều hòa dưới, bài toán Dirichlet, độ đo điều hòa, hàm Green, thế vị và dung lượng… Xuất phát từ thực tiễn vật lý, nó được n n phát triển nhanh từ lý thuyết thế vị cổ điển trong và lý thuyết đa thế vị trong đến các lý thuyết tiên đề trên những không gian tổng quát. Sự phát triển của nó ngày càng trừu tượng khái quát. Tuy nhiên có một nền chung cho tất cả các lý thuyết trên, đó là lý thuyết thế vị trong mặt phẳng: lý thuyết này chứa các vật liệu cần thiết cho các lý thuyết thế vị. Có một sự liên hệ chặt chẽ giữa lý thuyết thế vị và giải tích phức: các kỹ thuật của giải tích phức, đặc biệt là các ánh xạ bảo giác, giúp đưa ra nhanh gọn các chứng minh và các kết quả của lý thuyết thế vị. Mặt khác các định lý tương tự trong lý thuyết thế vị lại có vô số ứng dụng trong giải tích phức. Trong lý thuyết số, phép nội suy là phương pháp xây dựng các điểm dữ liệu mới dựa vào một tập rời rạc các điểm dữ liệu đã biết. Các dữ liệu này có được nhờ việc lấy mẫu, thí nghiệm, phép thử . . ., từ đó người ta cố gắng xây dựng một hàm mà khớp rất gần với các dữ liệu này. Lĩnh vực này được gọi là sự làm khớp đường cong, giải tích ngược (giải tích hồi quy). Phép nội suy là một trường hợp đặc biệt của sự làm khớp đường cong mà đồ thị hàm số phải đi qua các điểm dữ liệu. Các dạng của phép nội suy có thể xây dựng bằng cách chọn các lớp hàm khác nhau, chẳng hạn như : phép nội suy bởi các đa thức, phép nội suy bởi các hàm lượng giác, phép nội suy bởi các hàm điều hòa dương . . .Một bài toán có liên hệ gần gũi với phép nội suy là phép xấp xỉ một hàm đa thức với một hàm đơn giản Các kết quả về lý thuyết thế vị và các phép nội suy đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi .Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng trên. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong bài luận văn này, sau khi giới thiệu một số kết quả đã có của Lý thuyết thế vị trong mặt phẳng, trong nhiều ứng dụng của lý thuyết thế vị, chúng tôi giới thiệu ba ứng dụng sau: + Phép nội suy trong không gian Lp : + Xấp xỉ đều + Phép nội suy bởi các hàm điều hòa dương. 3. Cấu trúc luận văn Luận văn được chia thành 4 chương với nội dung chính như sau Chương 1: Trong chương này, ta chỉ trình bày các kết quả của lý thuyết thế vị trong mặt phẳng phức, mà không đưa ra các chứng minh. Các chứng minh này đã được trình bày chi tiết trong quyển [10] Chương 2: Sử dụng định lý Ba đường thẳng trong lý thuyết thế vị và các kiến thức về giải tích hàm ta chứng minh định lý Định lý nội suy Riesz – Thorin, mà một trường hợp đặc biệt của định lý là: với T là toán tử tuyến tính bị chặn trên cả L1 và L2 thì T là toán tử tuyến tính bị chặn trên Lp với mỗi p thỏa 1  p  2 . Chương 3: Nội dung chính của chương 3 là sử dụng lý thuyết thế vị, ta mở rộng các kết quả của định lý Runge về xấp xỉ dều bởi đa thức qua các định lý: Định lý Bernstein-Walsh, Định lý Keldysh. Chương 4: Trình bày một điều kiện cần và đủ để một dãy điểm tách được trong một đường tròn đơn vị là dãy nội suy đối với các hàm điều hòa dương. ...