Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach trình bày về đại số Banach giao hoán và phép biến đổi Gelfand trên nó; hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh ToànVÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACHChuyên ngành : Toán giải tíchMã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tintrường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớpToán giải tích khóa K21. Xin được cảm ơn quý thầy trong Hội đồng khoa học đãđọc và cho những ý kiến xác đáng. Cám ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rấtnhiều trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy đãhết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi hoàn thành luận văn này.Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề của thầy sẽ là hành trangvốn quý cho chúng tôi, những người đã và đang theo nghề giáo. MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cám ơnMục lụcMỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................................... 3 1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến .............................................................................................. 3 1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm ........................................................................ 8Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ .... 11 2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand ................................................ 11 2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử ....................................... 27Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG .. 35 3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand ........ 35 3.2. Định lý hàm ẩn trong đại số Banach .............................................................................. 40 3.3. Vài kết quả về biên Shilov ............................................................................................. 46KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 54TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 55 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Một trong các đối tượng chính của lý thuyết các đại số Banach giao hoán là việc nghiên cứu xem khi nào có thể biểu diễn một đại số bởi một đại số các hàm liên tục trên một không gian compact. Sự biểu diễn này tạo điều kiện cho việc ứng dụng các kết quả của lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số Banach. Việc nghiên cứu các ứng dụng của giải tích phức vào lý thuyết đại số Banach được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như Weiner, Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức và một số ứng dụng của nó trong đại số Banach.2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức và xem xét một số ứng dụng của nó trong đại số Banach. Cụ thể luận văn trình bày lại các kết quả sau + Mô tả các biểu diễn của đại số giao hoán qua các hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand. + Chứng minh các hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên không gian các biến đổi Gelfand. Đồng thời áp dụng kết quả này để chứng minh định lý hàm ẩn đối với một đại số Banach. + Chứng minh rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều kiện địa phương.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các đại số Banach, các phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức. 24. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm về hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach.5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand Chương 3. Hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức liên quan đến giải tích phức nhiều biến, tôpô, giải tích hàm được sử dụng cho các chương sau. 1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.1.1 Hàm nhiều biến phức trên một tập D ⊂  n là một ánh xạ f từ D vào mặt phẳng phức  , giá trị của hàm f tại điểm z ∈ D được kí hiệu là f ( z ) . Định nghĩa 1.1.2 Hàm l :  n →  gọi là  − tuyến tính (tương ứng  − tuyến tính) nếu i) l ( z + z ) = l ( z ) + l ( z ), ∀z, z ∈ n ii) l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n (tương ứng ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ) . Hàm  − tuyến tính l :  n →  là  − tuyến tính nếu l (iz ) = il ( z ), ∀z ∈ n Trong trường hợp l (λ= ...