Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan cạnh nhị thức

Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trình tiên phong của Richard Stanley vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiên cứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhị thức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầu những năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứu rất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng còn xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại số thống kê. Luận văn sẽ tìm hiểu vấn đề này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan cạnh nhị thứcBỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đỗ Trọng Hoàng Hà Nội – 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu,nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ TrọngHoàng. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếucó đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa đượcbảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưađược công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà Nội, ngày 29 tháng 4 năm 2020 Người cam đoan Vũ Thị Dương Lời cám ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học việnKhoa học và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trướctiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Đỗ TrọngHoàng. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiềukhó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi xingửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mìnhtại Khoa Toán học. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học -Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đãluôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại họcviện. Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi,những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua. Vũ Thị Dương Danh mục các kí hiệuKí hiệu Trangin(I) 5≤lex , ≤glex 5supp 5in(f ), lc(f ), lm(f ) 5RemG (f ) 9S(f, g) 10U CLN 10Ass(I) 17JG 25PS (G) 36dim S/JG 40 Mục lụcLời mở đầu 11 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Cơ sở Gr¨ obner của iđêan cạnh nhị thức 22 2.1 Iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Cơ sở Gr¨obner và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Cơ sở Gr¨obner rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức 36 3.1 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . 36 3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan cạnh nhị thức . . . . 41Kết luận 45Tài liệu tham khảo 46 1 Lời mở đầu Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trìnhtiên phong của Richard Stanley [1] vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiêncứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhịthức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầunhững năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứurất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng cònxuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại sốthống kê. Một nghiên cứu đầu tiên về các tính chất đại số của iđêan nhị thức,chẳng hạn như phân tích nguyên sơ và cơ sở Gr¨obner, được đưa ra bởiDavid Eisenbud và Bernd Sturmfels [2]. Trong số các iđêan nhị thức,iđêan cạnh nhị thức gắn kết một cách tự nhiên với một đồ thị đơn tạothành một lớp đặc biệt. Lớp iđêan nhị thức này được đưa ra xem xétvà nghiên cứu bởi hai nhóm tác giả độc lập Herzog, Hibi, Hreinsdóttir,Kahle, Rauh [3], và Ohtani [4]. Iđêan cạnh nhị thức cũng có thể xem như iđêan sinh bởi một số địnhthức con cấp hai của ma trận 2×n với hệ số là các biến x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn 2sau đây:   x1 x2 · · · xn   y1 y 2 · · · yntrong vành đa thức S = K[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ]. Iđêan cạnh nhị thức cómột tính chất hiếm gặp là iđêan khởi đầu của nó là iđêan không chứabình phương (Định lý 2.3.2). Dựa vào một kết quả nổi tiếng gần đây củaAldo Conca và Matteo Varbaro [5], ta có thể nhận thấy hầu hết các tínhchất và các bất biến đại số của iđêan cạnh nhị thức và iđêan khởi đầucủa nó trùng nhau. Cho nên, việc tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của lớp iđêannày là rất quan trọng. Vấn đề đầu tiên trong luận văn này, chúng tôitìm hiểu cơ sở Gr¨obner của nó và đặc trưng đồ thị mà iđêan cạnh nhịthức có cơ sở Gr¨obner gồm các ...