Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng tập trung tìm hiểu về lớp các MD nhóm và MD đại số; lớp con các MD5 đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều và bức tranh hình học các K quỹ đạo của các MD5 nhóm liên thông đơn liên tương ứng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------------------- Dương Minh Thành VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁCMD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dướisự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này màkhông được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tác giả 3 MỤC LỤC TrangTrang phụ bìa ...................................................................................................... 1Lời cam đoan ....................................................................................................... 2Mục lục ................................................................................................................ 3Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 5MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 6Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 131.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 141.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 191.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 22Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K- QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 262.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều................ 292.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét .............................................. 37Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT3.1. Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 483.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét............................. 53 4KẾT LUẬN ....................................................................................................... 57DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................. 59TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 60PHỤ LỤC .......................................................................................................... 63 5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆUAut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ VAutG : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên GB: tập hoành BorelC : trường số phứcC ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp VEnd(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ Vexp : ánh xạ mũ expG* : không gian đối ngẫu của đại số Lie GGL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thựcJ ( F ) : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên FLie(G) : đại số Lie của nhóm Lie GMat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thựcR : trường số thựcTeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị eV / F : không gian lá của phân láΩ F : quỹ đạo Kirillov qua F∧ : độ đo hoành (đối với phân lá) 6 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn là một trong những lĩnh vực quan trọng, đóng vai trò cốtyếu trong nhiều hướng nghiên cứu của toán học và vật lý học hiện đại: giải tíchđiều hòa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học lượng tử, vật lý hạt cơbản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tựnhiên, bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phânloại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước mộtnhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác mộtđẳng cấu). Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại sốLie. Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie cho ta nhữngthông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm tương ứng. Để giải quyết bàitoán này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo vànhanh chóng trở thành một công cụ đắc lực của lý thuyết biểu diễn. Phương phápnày cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhómLie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Trongkhoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov đượcnhiều nhà toán học trên thế giới như L.Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, …nghiên cứu, cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov ...