Lý thuyết thặng dư

Tài liệu Lý thuyết thặng dư trình bày các nội dung chính: chuỗi hàm biến phức, lý thuyết thặng dư, ứng dụng lý thuyết thặng dư. Đây là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên chuyên ngành Toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết thặng dư MỤC LỤC LÝ THUYẾT THẶNG DƯ1.1 Chuỗi hàm biến phức …………………………………………………………2 1.1.1 Chuỗi Taylor của hàm giải tích …………………………………………2 1.1.2 Không điểm của hàm giải tích …………………………………………..2 1.1.3 Chuỗi Laurent …………………………………………………………...3 1.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tích ……………………………41.2 Lý thuyết thặng dư…………………………………………………………….5 1.2.1 Định nghĩa ……………………………………………………………….5 1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích ……………………………………5 1.2.3 Thặng dư tại cực điểm…………………………………………………...51.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư………………………………………………….6 1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến L …………………….6 1.3.2 Tính tích phân dạng I = ………………………………7 1.3.3 Tính tích phân dạng I = …………………………………….12 1.3.3.1 Bổ đề 1 Jordan…………………………………………………..12 1.3.3.2 Ứng dụng của bổ đề 1 Jordan…………………………………...13Tài liệu tham khảo………………………………………………………………..17 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ1.1 Chuỗi hàm biến phức1.1.1 Chuỗi Taylor của hàm giải tíchGiả sử f(z) là hàm giải tích tại lân cận điểm a.Có th ể bi ểu di ễn f(z) d ưới d ạngchuỗi lũy thừa của z-a.HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 1Mọi hàm f(z) giải tích trong hình tròn L: | z-a | < R đ ều có th ể khai tri ển m ộtcách duy nhất thành chuỗi lũy thừa của z-a như sau f(z) = Co + C1 (z-a) + ………………+ Cn (z-a)nTrong đó hệ số Cn được xác định như sau Cn = Chú ý: = Suy ra Cn =Tóm lại ta có f(z) =Ví dụ : Khai triển Taylor của hàm f(z) = ez tại điểm 0 ( = a )Ta có f(z) = trong đó Cn = = Vậy e = 1+ z + ………………… z1.1.2 Không điểm của hàm giải tích a. Định nghĩa: Giả sử f(z) là hàm giải tích trong G.Điểm a được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu f(a) = 0 Nếu khai triển Taylor của hàm f(z) tại lân cận điểm a có dạng f(z) = với ≠ 0 f(z) = m được gọi là cấp của không điểm hay ta nói a là không đi ểm c ấp m c ủahàm f(z) m = 1: a được gọi là không điểm cấp 1 ( không điểm đơn )* Điều kiện cần và đủ để a là không điểm cấp m của hàm f(z) là: f(a) = f/(a) = f//(a) …………………= f(m-1)(a) = 0 và f(m)(a) ≠ 0Định lý : Điều kiện cần và đủ để điểm a là không điểm cấp m c ủa hàm f(z) làf(z) có thể biểu diễn dưới dạng f(z) = (z-a)m ở đây là hàm giải tích tại a và ≠ 0Ví dụ Xét hàm f(z) = 1- coszTa đã biết Cosz = Vậy f(z) =Vậy z = 0 là không điểm cấp 2 1.1.3 Chuỗi Laurent* Nếu f(z) là hàm giải tích,đơn trị trong hình vành khăn r < < R.Khi đó v ới m ọiz G ta có f(z) = Trong đó các hệ số: Cm = m = 0,+1,………….. L là chu tuyến bao quanh điểm a và nằm hoàn toàn trong GChuỗi trên được gọi là chuỗi Laurent của hàm giải tíchLưu ý: Chuỗi Laurent khác với chuỗi Taylor ở điểm có lũy thừa nguyên âm f(z) = + Phần chính Phần đềuHỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 21.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tícha. Điểm bất thường: Điểm z = a được gọi là điểm bất th ường nếu f(z) khônggiải tích tại ab. Phân loại: + Căn cứ vào khai triển Laurent f(z) tại a không có ph ần chính t ức là c n = 0với mọi n.Khi đó a được gọi là điểm bất thường bỏ được + Nếu khai triển Laurent của f(z) tại a mà ph ần chính có h ữu h ạn s ố h ạngsuy ra a là cực điểm của hàm f(z) ( cực điểm cấp m) + Nếu phần chính của khai triển Laurent f(z) tại a vô s ố s ố hạng thì đi ểm ađược gọi là điểm bất thường cốt yếuVí dụ: * f(z) = Ta có điểm a = 0 được gọi là điểm bất thường f(z) = = = Không chứa lũy thừa âm vậy z = 0 là điểm bất thường bỏ được* f(z) = = = Vậy z = 0 là cực điểm cấp 3 * f(z) = là điểm bất thường cốt yếu1.2 Lý thuyết thặng dư1.2.1 Định nghĩa: Nếu f(z) giải tích tại lân cận điểm a.L là chu tuy ến bao quanha và lọt hoàn toàn trong lân cận trên : không phụ thuộc vào L Gọi thặng dư của hàm f(z) tại a là một số xác định bằng Kí hiệu = Res f(a) =1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích Ta đã biết các hệ số trong khai triển Laurent của hàm f(z) như sau sau Cn =Xét n= -1 C-1 : hệ số lũy thừa – 1 trong khai triển LaurentC-1 = =Vậy: Res f(a) = = C-1 Để tính thặng dư của hàm giải tích f(z) tại điểm bất th ường a ta chuy ển v ề tìmhệ số C-1 trong khai triển Laurent của hàm f(z)1.2.3 Thặng dư tại cực điểm a. Nếu a là cực điểm đơn của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = (z-a).f(z) b. Nếu a là cực điểm cấp m của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = f(z)]HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 31.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến LNếu f(z) là hàm giải tích trong miền kín giới hạn bởi biên C trừ một s ố h ữu h ạncác điểm (n hữu hạn) thì • Ví dụ: Tính với C là vòng tròn Xét f(z) = f(z) có 3 cực điểm Chỉ có hai cực điểm ,nằm trong miền giới hạn bởi L I =2i[Resf(z),i] +2i[Resf(z),-i] [Resf(z),i] = = [Resf(z),-i] = =Vậy I =1.3.2 Tính tích phân dạng I =Tích phân thực ,trong đó R là một hàm h ữu tỉ,được đưa v ề tích phân ph ức b ằngcách sau * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2)Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1Từ đó : I = • Ví dụ 1: Tính =* Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2)Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x ...