một số bài toán ứng dụng cực trị và cực đối

Cực và đối cực được áp dụng để giải khá nhiều các bài toán hình học phẳng. Nhiều bài toán nếu không dùng cực và đối cực thì con đường đến lời giải có lẽ sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Trong bài viết này tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng cực và đối cực để giải quyết. Rất mong được sự góp ý của các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
một số bài toán ứng dụng cực trị và cực đối M t s bài toán dùng c c và ic cC c và i c c ư c áp d ng gi i khá nhi u các bài toán hình h c ph ng.Nhi u bài toán n u không dùng c c và i c c thì con ư ng n l i gi i cól s ph c t p hơn r t nhi u. Trong bài vi t này tôi xin trình bày m t s bàitoán có s d ng c c và i c c gi i quy t. R t mong ư c s góp ý c acác b n.1. Các bài toán nh ây là các bài toán ch y u ư c suy ra khá tr c ti p t nh ng tính ch t cơb n c a c c và i c c. Vì th l i gi i c a chúng thư ng r t ng n g n. Cũngcó m t s bài toán dùng c c và i c c làm m t bư c m trong l i gi i c achúng.Bài toán 1 (Australian-Polish 98): Cho 6 i m A, B, C, D, E, F thu c m t ư ng tròn sao cho các ti p tuy n t i A và D, ư ng th ng BF, CE ngquy. Ch ng minh r ng các ư ng th ng AD, BC, EF ho c ôi m t songsong ho c ng quy.Trư ng h p 3 ư ng th ng ó ôi m t song song d th y nên ta ch xét khichúng có c t nhau. N u g i i m ng quy c a BF, CE là K thì KA, KD làcác ti p tuy n c a K v i ư ng tròn nên AD là ư ng i c c c a K. Theonhư tính ch t c a t giác n i ti p thì BC và EF s c t nhau t i 1 i m thu c ư ng i c c c a K, t c thu c AD.Bài toán 2: Cho tam giác ABC. ư ng tròn n i ti p (I) ti p xúc v i BC,CA, AB l n lư t t i D, E, F. K là m t i m b t kỳ thu c ư ng th ng EF.BK, CK c t AC, AB l n lư t t i E’, F’. Ch ng minh r ng E’F’ ti p xúc v i(I).G i giao i m c a DK và (I) là J và qua J k ti p tuy n v i (I) c t AC, ABt i M, N. Ta th y r ng EF, DJ, BM và CN ng quy. Rõ ràng i m ng quy ó là K nên M trùng v i E’, N trùng v i F’, t c E’F’ ti p xúc v i (I).Chú ý là trong bài toán này thì i m K có th di chuy n trên c ư ng th ngEF mà k t qu không thay i. Hơn n a n u g i D’ là giao i m c a E’F’v i BC thì tương t cũng có CF’, AD’, FD và AD’, BE’, DE ng quy. Phátbi u l i thì có i u ki n c n và m t ư ng th ng ti p xúc v i ư ngtròn n i ti p như sau:Cho tam giác ABC. ư ng tròn n i ti p (I) ti p xúc v i BC, CA, AB l nlư t t i D, E, F. ư ng th ng l c t các c nh BC, CA, AB l n lư t t i D’, E’,F’. Ch ng minh r ng l ti p xúc v i (I) khi và ch khi m t trong 3 i u ki nsau x y ra:i) giao i m c a BE’, CF’ thu c EF.ii) giao i m c a CF’, AD’ thu c FD.iii) giao i m c a AD’, BE’ thu c DE.C n chú ý thêm m t chút n a r ng c 3 i u ki n trên là tương ương nênx y ra 1 i u ki n cũng có nghĩa là c 3 i u ki n u x y ra.Bài toán 3 (MOP 95): Cho t giác ABCD ngo i ti p (O). Ti p i m thu ccác c nh AB, BC, CD, DA l n lư t là M, N, P, Q. AN, AP c t (O) t i E, F.Ch ng minh r ng ME, QF, AC ng quy.G i K là c c c a AC. Xét t giác n i ti p MNPQ thì theo tính ch t c c và i c c c a t giác n i ti p ta có MQ và NP c t nhau t i K. L i xét n tgiác n i ti p EFPN thì cũng có EF và NP c t nhau t i K, suy ra MQ và EFc t nhau t i K.Ta th y ME và QF c t nhau t i 1 i m thu c ư ng i c c c a K t c thu cAC hay ME, QF, AC ng quy.Bài toán 4: Cho t giác ABCD n i ti p (O). AC c t BD t i I. (AOB), (COD)c t nhau t i i m L khác O. Ch ng minh r ngG i K là giao i m c a AB và CD.Ta th y KA.KB = KC.KD nên K thu c tr c ng phương c a (AOB) và(COD) nên K, L, O th ng hàng.Suy ra KL.KO = KA.KB = KM.KN (v i M, N là giao i m c a KO v i(O)).T ó suy ra (KOMN) = -1 hay L thu c ư ng i c c c a K.Ta ã bi t là ư ng i c c c a K i qua I nên IL chính là ư ng ic cc a K, t ó suy ra KO IL.Bài toán 5: Cho tam giác ABC. ư ng tròn ư ng kính AB c t CA, CB t iP, Q. Các ti p tuy n t i P, Q v i ư ng tròn này c t nhau t i R. Ch ng minhr ng CR AB.G i O là trung i m AB và S là giao i m c a PQ và AB.Áp d ng tính ch t c c và i c c vào t giác n i ti p APQB ta th y CRchính là ư ng i c c c a S. Do ó CR OS hay CR AB.Bài toán 6: Cho tam giác ABC. BB’, CC’ là các ư ng cao. E, F là trung i m c a AC, AB. EF c t B’C’ t i K. Ch ng minh r ng AK vuông góc v i ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC.G i H, G, O l n lư t là tr c tâm, tr ng tâm và tâm ư ng tròn Ơle c a tamgiác ABC. J là giao i m c a FB’ và EC’.Áp d ng nh lí Papuyt cho 2 b 3 i m BFC’ và CEB’ suy ra J, H, G th nghàng, t c J thu c ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC.M t khác, t giác C’FB’E n i ti p ư ng tròn Ơle, và theo tính ch t c c c at giác n i ti p thì AK là ư ng i c c c a i m J, t ó suy ra AK vuônggóc v i OJ t c ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC.M r ng ra thêm m t chút, n u như xác nh các i m K, L, M là giao i mc a các c nh tương ng c a 2 tam giác A’B’C’ và DEF v i A’, B’, C’ làchân các ư ng cao còn D, E, F là trung i m các c nh BC, CA, AB tương ng thì có th th y r ng AK, BL, CM song song v i nhau và cùng vuônggóc v i ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC. i c c v i ư ng tròn n i ti p:2. C c vàTrong 1 tam giác, ư ng tròn n i ti p làm xu t hi n các ti p tuy n v i nó, và i u này r t thu n l i cho vi c áp d ng c c và i c c.Vì tính li n m ch c a các bài toán v i nhau nên xin không phát bi u t ng bàitoán c th riêng r ra.Hãy xét tam giác ABC có (I) là ư ng tròn n i ti p ...