Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai

Bài viết "Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai" có nội dung trình bày về các định nghĩa và ví dụ của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai; phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai; một số dạng toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI Quách Thị Tuyết Nhung THPT Chuyên Hưng Yên1 Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai1.1 Các định nghĩa và ví dụĐịnh nghĩa 1. Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai là dãy số cho bởi công thức un+2 = aun+1 + bun (1.1)với mọi n ≥ 0 và a, b là các hằng số thực.Ví dụ 1. Dãy số (un ) cho bởi công thức   u0 = 1  u1 = 2 1 2 u = − u n +1 + u n , ∀ n ≥ 0  n +2 3 3là một dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai.1.2 Phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai Để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai ta thựchiện như sau: Xét phương trình đặc trưng của (1.1) t2 − at − b = 0. (1.2) Phương trình có biệt thức ∆ = a2 + 4b. Ta xét các trường hợp: Trường hợp 1. ∆ > 0 khi đó (1.2) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 . Số hạng tổng quátcủa (1.1) có dạng un = x.t1n + y.t2n , ∀n ≥ 0, x, y ∈ R. 278 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017x, y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 , u1 . Trường hợp 2. ∆ = 0 khi đó (1.2) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của (1.1)có dạng un = x.tn + y.n.tn−1 , ∀n ≥ 0(ta qui ước 0−1 = 0) x, y ∈ R.x, y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 , u1 . Trường hợp 3. ∆ < 0 khi đó (1.2) có hai nghiệm phức. Thuật toán tìm số hạng tổng quáttrong trường hợp này như sau: Bước 1. Giải phương trình t2 − at − b = 0 ta nhận được hai nghiệm phức √ a + i. −∆ z= . 2 Bước 2. Đặt r = |z| là module của Z, ϕ = Argz, ta nhận được un = r n .( p cos nϕ − q sin nϕ)với mọi p, q là các số thực. Bước 3. Xác định p, q theo các giá trị u0 , u1 cho trước. Cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức đại số tuyến tính. Ở đây, tôi sẽ chứngminh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1. ∆ > 0 khi đó (1.2) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 , theo định lí Vi-etta có t1 + t2 = a, t1 .t2 = −b. Khi đó un+1 = (t1 + t2 )un − t1 .t2 .un−1 .Ta có un+1 − t1 un = t2 (un − t1 un−1 ) = t22 (un−1 − t1 un−2 ) = · · · = t2n (u1 − t1 u0 ).Như vậy un+1 − t1 .un = t2n (u1 − t1 u0 ). (1.3)Tương tự un+1 − t2 .un = t1n (u1 − t2 u0 ). (1.4)Trừ từng vế (1.4) và (1.3) ta có (t1 − t2 )un = (u1 − t2 u0 )t1n − (u1 − t1 u0 )t2n .Do t1 6= t2 nên u1 − t2 u0 n u1 − t1 u0 n un = t − t . t1 − t2 1 t1 − t2 2 279 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 Vậy un có dạng un = x.t1n + y.t2n , ∀n ≥ 0, x, y ∈ R. − a2 aTrường hợp 2: ∆ = 0 khi đó b = , (1.2) có nghiệm kép t = . Ta có 4 2 un+1 = 2tun − t2 un−1 ⇔ un+1 − tun = t(un − tun−1 ) = · · · = tn (u1 − tu0 )Như vậy, un+1 − tun = tn (u1 − tu0 ) (1.5) un − tun−1 = tn−1 (u1 − tu0 ) (1.6) n −2 un−1 − tun−2 = t (u1 − tu0 ) (1.7) .................................. (1.8) u1 − tu0 = u1 − tu0 (1.9)Nhân hai vế của (1.6) với t, hai vế của (1.7) với t2 , . . . , hai vế của (1.9) với tn và cộng lại, tađược un+1 = tn+1 .u0 + n.tn .(u1 − tu0 ). Do đó un có dạng x.tn + y.n.tn−1 với x, y là hai sốthực.2 Một số ví dụVí dụ 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số thỏa mãn 1 2 u0 = 11, u1 = 2, un+2 = − un+1 + un , ∀n = 0, 1, 2 . . . 3 3Lời giải. 1 2 Xét phương trình đặc trưng t2 + t − = 0 của dãy có hai nghiệm thực phân biệt là 3 3 2 t1 = , t2 = −1 3Do đó, 2 un = x.( )n + y.(−1)n , ∀ x, y ∈ R. 3T ...