Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic

Bài viết "Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic" nêu lên các lý thuyết về tính giới hạn của hàm số, cũng như đưa ra một số bài toán ứng dụng luyện tập trong các kì thi Olympic toán học. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ QUA CÁC KỲ O LYMPIC Nguyễn Viết Sơn Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung 1 Cơ sở lí thuyết Định nghĩa 1.1. Cho E ⊂ R, hàm f : E → R, x0 ∈ E và một số L ∈ R. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần tới x0 nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L x → x0 hoặc f ( x ) → L khi x → x0 . Nhận xét 1.1. Nếu hàm số có giới hạn tại điểm x0 thì giới hạn đó là duy nhất. Tính chất 1.1. Nếu tồn tại các giới hạn lim f ( x ) = L, lim g ( x ) = K thì x → x0 x → x0 a) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = L ± K. x → x0 b) lim [ f ( x ) .g ( x )] = L.K. x → x0 f (x) L c) lim = (K 6= 0). x → x0 g ( x ) K d) Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) trong một lân cận của x0 thì L ≤ K. e) lim | f ( x )| = | L|. x → x0 Xét một số định nghĩa giới hạn mở rộng. Định nghĩa 1.2. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng +∞ khi x dần tới x0 nếu với ∀α > 0, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì f ( x ) > α. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = +∞ hoặc f ( x ) → +∞ khi x → x0 . x → x0 Định nghĩa 1.3. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng −∞ khi x dần tới x0 nếu với ∀α > 0, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì f ( x ) < −α. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = −∞ hoặc f ( x ) → −∞ khi x → x0 . x → x0 Định nghĩa 1.4. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần ra +∞ nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃α > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn x > α thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → +∞. x →+∞ 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Định nghĩa 1.5. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần ra −∞ nếuvới ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃α > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn x < −α thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → −∞. x →−∞Định nghĩa 1.6 (Hàm liên tục). Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ E nếuvới ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn | x − x0 | < δ thì | f ( x ) − f ( x0 )| <ε. Lúc này ta viết: lim f ( x ) = f ( x0 ). x → x0Định nghĩa 1.7. Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên E nếu nó liên tục tại mọi điểmthuộc E. Một số định lí về tính liên tục của hàm số.Định lý 1.1 (Định lí Weierstrass). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] thì nó đạtđược giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b], nghĩa là tồn tại c, d ∈ [ a; b] sao chof (c) ≤ f ( x ) ≤ f (d) với ∀ x ∈ [ a; b].Định lý 1.2 (Định lí về giá trị trung gian). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] vàf ( a) . f (b) < 0 thì tồn tại c ∈ [ a; b] sao cho f (c) = 0.Định lý 1.3 (Định lí Bolzano - Cauchy). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] vàf ( a) = u, f (b) = v thì với mọi giá trị wnằm giữa (u; v) đều tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f (c) = w.Định lý 1.4 (Định lí Rolle). Cho hàm số f liên tục trên [ a; b] và khả vi trên ( a; b). Giả sửf ( a) = f (b) thì tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f 0 (c) = 0.Định lý 1.5 (Định lí Lagrange về giá trị trung bình). Cho hàm số f liên tục trên [ a; b] và f (b) − f ( a)khả vi trên ( a; b). Tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f 0 (c) = . b−a2 Một số ứng dụngVí dụ 2.1. Cho f là một hàm liên tục và đơn ánh trên ( a; b). Chứng minh rằng f là mộthàm đơn điệu ngặt trên ( a; b).Cách giải. Giả sử f không phải đơn điệu ngặt trên ( a; b). Do f là một hàm liên tục và đơn ánh trên ( a; b)nên tồn tại x1 , x2 , x3 ∈ ( a; b) sao chox1 < x2 < x3 và f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x3 ) < f ( x2 )hoặc f ( x1 ) > f ( x2 ) ...