Nghiệm của phương trình vi phân đại số với nhiễu nhỏ

Bài viết đưa ra một dạng nhiễu nhỏ của phương trình vi phân đại số chính qui chỉ số 1 và đưa ra một số kết quả và một số đánh giá về nghiệm của phương trình vi phân đại số với nhiễu nhỏ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm của phương trình vi phân đại số với nhiễu nhỏ TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2. 2009NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI NHIỄU NHỎ Hoàng Nam1, Văn Thị Trang2 1 Phòng Đào tạo, trường Đại học Hồng Đức 2 Sinh viên ngành toán, Đại học Hồng Đức TÓM TẮT Bài báo đưa ra một dạng nhiễu nhỏ của phương trình vi phân đại số chính qui chỉsố 1 và đưa ra một số kết quả và một số đánh giá về nghiệm của phương trình vi phânđại số với nhiễu nhỏ. MỞ ĐẦU Đối với các phương trình vi phân đại số “ chuyển được” hoặc chính qui chỉ số 1bằng cách sử dụng một phép chiếu ta có thể phân rã chúng về hệ gồm phương trình viphân thường và các phương trình đại số. Phương trình vi phân đại số có chỉ số cao ta cóthể sử dụng liên tiếp các phép chiếu hoặc dùng phương pháp hạ chỉ số để quy về phươngtrình vi phân đại số có chỉ số thấp hơn, vì thế hướng nghiên cứu tập trung chủ yếu vềnghiên cứu phương trình vi phân đại số có chỉ số 1 hoặc chỉ số 2. Ngay từ cuối những năm 70 và đầu năm 80 của thế kỷ 20 đã có nhiều nhàtoán học trên thế giới nghiên cứu về phương trình vi phân đại số, một trong số đólà nhóm các nhà toán học của đại học Humboldt của Berlin, nhóm các nhà toán họcNga. Ở Việt Nam, từ những năm 90 của thế kỷ 20 đã có một số nhà khoa học thuộcnhóm nghiên cứu do GS. Vũ Tuấn thuộc đại học Sư phạm Hà Nội và nhóm nghiêncứu do các GS. Phạm Kỳ Anh và GS. Nguyễn Hữu Dư thuộc đại học Khoa học Tựnhiên, đại học Quốc gia Hà Nội chủ trì nghiên cứu về phương trình vi phân đại số.Nhiều kết quả đã thu được đối với phương trình vi phân đại số. Chẳng hạn các kếtquả về nghiệm, về ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ của phương trình vi phânđại số có chỉ số 1 và 2, lý thuyết Floquet của phương trình vi phân đại số có chỉ số1 với hệ số tuần hoàn, tính khả qui,… Nhiều công trình nghiên cứu về tính ổn định,dáng điệu tiệm cận dựa vào phương pháp chính qui hóa (xem [6,7]), về phươngtrình vi phân đại số liên hợp, về bán kính ổn định của phương trình vi phân đại số,kết quả về hệ phương trình không ôtônôm (xem [1,8]). Một số nhà toán học Nganghiên cứu về nghiệm của phương trình với nhiễu của phương trình vi phân đại số: ( A(t ) + εC (t )) x& ε + ( B(t ) + εD(t )) xε = f (t ) ,trong đó, 0 < ε < 1 đã thu được một số kết quả thú vị. 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2. 2009 Trong thực tế, hầu hết các bài toán đều liên quan tới phương trình với nhiễu nhỏ,bởi vậy bài báo tập trung nghiên cứu và có những đánh giá về nghiệm của phương trìnhvi phân đại số với một dạng nhiễu nhỏ bậc 1. 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Xét các phương trình vi phân đại số tuyến tính và tuyến tính thuần nhất: A(t)x + B(t)x = f(t) , (1.1) A(t)x’ + B(t) x = 0, t ∈ [t0, + ∞) = J (1.2)với các ma trận hệ số A, B ∈ C ( R + , L( R m )) , f (t ) ∈ C ( R m , L( R m )) rankA(t) = r < m, vàN(t) = kerA(t) trơn nghĩa là tồn tại phép chiếu Q ∈ C 1 ( R + , L( R m )) lên N(t), P= I – Q. Định nghĩa. Giả sử cặp ma trận A, B ∈ C ( R + , L( R m )) có ind(A,B) = 1, khi đóS = { x: Bx ∈ imA} được gọi không gian liên hợp. Phép chiếu Qs lên kerA dọc S đượcgọi là phép chiếu chính tắc. { Định nghĩa. Một hàm x(t ) ∈ C 1N = x ∈ C , Px ∈ C 1 } được gọi là nghiệm củaphương trình vi phân đại số (1.2) trên J nếu có đồng nhất thức sau A(t ){( P (t ) x(t ))− P (t ) x(t )} + B (t ) x(t ) = 0 , với mọi t ∈ J . Chú ý rằng giá trị của biểu thức A(t ){( P(t ) x(t ))− P (t ) x(t )} + B(t ) x(t ) không phụthuộc vào cách chọn phép chiếu P. Đối với phương trình vi phân thường, nghiệmx(t ) ∈ C 1 , trong khi đó đối với phương trình vi phân đại số, nghiệm không cần khả vimà chỉ cần x ∈ C và Px ∈ C 1 . Khi (1.2) là phương trình vi phân đại số có chỉ số 1 thì imPs = S(t), kerPs = kerP =N(t) và imPs chứa mọi nghiệm của phương trình vi phân đại số có chỉ số 1, không gianimP là bất biến đối với phương trình vi phân thường (1.2), nghĩa là nếu u (t 0 ) ∈ imP (t 0 )thì nghiệm của bài toán giá trị đầu u (t ) ∈ imP(t ) . Định nghĩa. Phương trình (1.1) được gọi là “chuyển được” hay chính qui chỉ số 1trên R + nếu N(t) là trơn và ma trận G(t) = A(t) + B(t)Q(t) có nghịch đảo trên mỗi đoạn [0, T ] ⊆ R + . Chú ý rằng, tính khả nghịch của ma trận G(t) không phụ thuộc vào việc chọn phépchiếu Q(t) = I – P( ...