Rèn luyện một số hoạt động Toán thông qua một bài toán bất đẳng thức về diện tích

Rèn luyện một số hoạt động Toán thông qua một bài toán bất đẳng thức về diện tích gồm các nội dung: Con đường đi đến bài toán và các cách chứng minh, một số bài toán tương tự bài toán , một số bài toán chặt hơn của bài toán. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Rèn luyện một số hoạt động Toán thông qua một bài toán bất đẳng thức về diện tích RÈNLUYỆNMỘTSỐHOẠTĐỘNGTOÁNTHÔNGQUA MỘTBÀITOÁNBẤTĐẲNGTHỨCVỀDIỆNTÍCH ICONĐƯỜNGĐIĐẾNBÀITOÁNVÀCÁCCÁCHCHỨNGMINH: Chúngtabắtđầutừbàitoánsau:chotamgiácABCđềucạnha,khiđó a2 3tamgiácABCcódiệntíchS đượctínhtheocôngthứcS = ,suyra: 43a 2 4S 3 ,tứclà: a 2 a 2 a 2 4S 3 ,vậynẩysinhvấnđề:trongtamgiácbấtkỳthìtacókếtquảnhưthếnào?.Thửvàitamgiácđặcbiệtnhưtamgiác vuông,tamgiáccântasẽhướngdẫnhọcsinhđưarabàitoánsau: BT1. ChotamgiácABCcócáccạnha,b,cvàdiệntíchS. Chứngminh: a2+b2+c2 4S 3 (1) Saukhidựđoánđược(1),tayêucầuhọcsinhvậndụngcáckiếnthức đãhọcđể chứngminh.Thựctế lờigiảibàitoánnàyđãđượctrìnhbày ởnhiềutàiliệuthamkhảo,tuynhiênởđâychúngtôihướngdẫnhọcsinhchứngminhtheo10cáchkhácnhaudựavàocácnộidungkiếnthứccủacáclớp10, 11,vớimụcđíchlàrènluyệntínhlinhhoạtcủatưduyđồngthờicácphương phápchứngminhđócòndùngchocácbàitoánsaunày. Sau đây là một sốcáchchứngminh(1)Cách1.SửdụngcôngthứcHerongvàBĐTCosi ÁpdụngcôngthứcHêrông:S= p(p a )(p b)(p c) ,theoBĐTCôsita 3 p a p b p ccó:(pa)(pb)(pc) p(pa)(pb)(pc) 3 3 a b c a b c ,dođó:(a+b+c)2 12S 3 ,mặtkhácdễ chứngminh 2 6 1đượcBĐT:a2+b2+c2 (a+b+c)2,nêntừcácBĐTtrêntasuyra: 3a2+b2+c2 4S 3 .DấuđẳngthứcxẩyrakhitamgiácABCđều. Cáchchứngminhnàychúngtacóthể trìnhbày ở phầnápdụngBĐTCôsichứngminhBĐTởlớp10.Cách2.SửdụngđịnhlýcôsinvàBĐTCôsi,BĐTBunhia 1 Ápdụngđịnhlýcosin:c2=a2+b22ab.CosCvàcôngthứctínhdiện 1tíchS= ab.SinCtacó(1) a2+b2+a2+b22ab.CosC 2ab.SinC 3 2 a b a2 +b2 ab.CosC +ab.SinC 3 CosC 3.SinC (1). Ápdụng b a a bBĐTCôsitacó 2,ápdụngBĐTBunhiatacó: b aCosC 3.SinC (1 3)(Cos 2 C Sin 2 C) =2,nên(1)đúngdođó(1)đúng.DấuđẳngthứcxẩyrakhitamgiácABCđều. Cáchchứngminhnàychúngtacóthể trìnhbày ở phầnchứngminhBĐTbằngcáchápdụngBĐTCôsi,BĐTBunhiaởlớp10.Cách3.Sửdụngcôngthứccộngcungvàđịnhlýcosin ÁpdụngđịnhlýCosin:c2=a2+b22ab.CosCvàcôngthứctínhdiện 1tíchS= ab.SinCtacó(1) a2+b2+a2+b22ab.CosC 2ab.SinC 3 2 a +b2ab.CosC ab.SinC 3 a2+b2ab.CosCab.SinC 3 0 2 1 3 (ab)2+2ab[1( CosC SinC )] 0 (ab)2+2ab[1Cos(C600)] 0. 2 2Do(ab)2 0và2ab[1Cos(C600)] 0nên(1)đượcchứngminh.DấuđẳngthứcxẩyrakhitamgiácABCđều. Cáchchứngminhnàychúngtacóthểtrìnhbàyởphầncôngthứccộngcungởlớp11.Cách4.SửdụngcáchdựnghìnhvàcôngthứccộngcungTrongtrườnghợptamgiácABCđềuthì(1)đúng.GiảsửtamgiácABCkhôngđều,tacóthểcoiAlàgóclớnnhất,suyraA>600,dựngvàophíatrongtamgiácABCcáctamgiáccânAMB,APCsaochocácgócAMB=APC=1200. c b aKhiđóAM= ,AP= .Ápdụng 3 3địnhlýcosintrongtamgiácMAPtacó:MP2=AM2+AP22AM.AP.CosMAP= m p c b 2 2 2 b c bc 2 b2 c2 2bc.Cos(A 60 0 ) 2 .Cos(A 60 0 ) MP = = 3 3 3 3b2 c2 bc CosA 3SinA 2 b2 c ...