Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều

Bài viết Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều trình bày một kết quả về điều kiện cần và một kết quả về điều kiện cần và đủ cho sự ổn định của sơ đồ sai phân Quickest đối với phương trình đối lưu khuếch tán một chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN QUICKEST CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI LƯU KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 +¥ 2 Trong báo cáo này sẽ xét một sơ đồ sai u(x , t ) = p ò u (x -Vt + 2 0 Dt x)e -x d x -¥ phân hữu hạn cho phương trình đối lưu khuếch Bằng cách áp dụng kết quả trên một bước tán được gọi là Quickest (Quadratic Upstream chia theo thời gian từ thời điểm tn đến Interpolation for Convective Kinematics with tn +1 = tn + Dt ta có thể viết: Estimated Streaming Terms), sơ đồ đã được +¥ Leonard giới thiệu năm 1979 (xem [1]). Nội dung chính đạt được là kết quả về điều kiện u(x , tn + Dt ) = ò u(h, t )G(x - h; Dt )d h , n -¥ cần và đủ cho sự ổn định của sơ đồ này. trong đó hàm Green được xác định bởi (z -V t )2 2. NỘI DUNG BÁO CÁO 1 - G (z ; t ) = e . 4D t 2.1. Mô tả sơ đồ Quickest D pt Sơ đồ sai phân Quickest được dựa trên Theo [2], để đạt được xấp xỉ sai phân hữu công thức đánh giá giá trị trên một lưới của hạn, chúng ta thế một giá trị xấp xỉ của trường biến được biểu diễn qua các phần tử u(h, tn ) trong tích phân ở trên. của phép hồi quy bậc hai. Giả sử U jn là giá trị xấp xỉ của u(x j , tn ) tại Xét bài toán đối lưu khuếch tán một chiều với vận tốc hằng V theo chiều dương trục Ox điểm các lưới và hệ số truyền tải với hằng số D: x j = j Dx , j = 0, 1, 2,..., ¶u +V ¶u ¶2u = D 2 , t > 0, x Î  (1) với tập các giá trị này ta đặt n := U jn . { } ¶t ¶x ¶x với diều kiện ban đầu: Chúng ta cũng đặt p j (x ; n ) là đa thức nội u(x ; 0) = u 0 (x ) (2) suy tương ứng với các điểm x j , qua U jn và và điều kiện biên: lấy giá trị tại các điểm lân cận . Khi đó sơ đồ u(x , t ) = 0 khi x  +¥ . (3) sai phân hữu hạn có thể được thiết lập từ xấp Chúng ta sẽ xét lưới đều theo x và theo t xỉ nội suy bởi công thức +¥ và đặt: D Dt V Dt U jn +1 = ò p j (h; n )G (x j - h; Dt )d h . m= ,n= , -¥ (Dx ) 2 Dx Nếu sơ đồ xấp xỉ đạt được từ việc xấp xỉ ở đây v là hằng số Courant. n  gần x j bởi đa thức p j (x ; n ) bậc R : Nếu sử dụng biến đổi Fourier theo x, R chúng ta sẽ nhận được nghiệm hiện của bài p j (x ; n ) = å bjr (x - x j )r , toán giá trị ban đầu dưới dạng sau: r =0 126 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 thì: và công thức xấp xỉ trở thành sơ đồ Quickest: U n +1 = é æ1 ö j U jn +1 = êê1 - nD0 + çç n 2 + m÷÷÷ d 2 + +¥ êë çè 2 ÷ø 1 2 (4) = p -¥ ò p j (x -V Dt + 2 D Dt x; n )e -x d x æ1 n2 ç ö÷ 2 ù n ú ÷ +n çç - - m÷ d D- ú U j Khi đó, bằng cách tính các tích phân ngay èç 6 6 ø÷ úû trước đó, chúng ta đạt được tích phân dạng +¥ ...