Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Bài viết Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ toàn cục với các giả thiết phù hợp đặt cho toán tử và phần phi tuyến. Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện (F1).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CHO HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Hệ vi phân không địa phương là một mô Sử dụng lí thuyết phương trình tích phânhình toán dùng để mô tả quá trình truyền Volterra, ước lượng tiên nghiệm, nguyên línhiệt trong các vật liệu có nhớ; quá trình ánh xạ co và Định lí điểm bất động Shauder.thuần nhất hóa dòng một pha trong môi 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨUtrường xốp (xem [4] và các tài liệu trích dẫn).Việc nghiên cứu về hệ vi phân không địa 3.1. Kiến thức chuẩn bịphương đã thu hút được sự quan tâm của Để nghiên cứu bài toán (1)-(2), chúng tôinhiều nhà toán học, như đã đề cập trong [2]. cần các giả thiết sau đây về hàm k và toán tử A:Trong tài liệu [2], tác giả đã phân tích chi tiết (K) Hàm k  L1loc  ¡   không âm và khôngvề tính trừu tượng, ý nghĩa của việc nghiên tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l  L1loc  ¡  cứu và các hướng nghiên cứu cho bài toánsau: Cho trước T  0 , ta xét bài toán Cauchy sao cho  l  l  k  1 trên (0, ) . d (A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xác  dt  u  k *[u  u (0)] định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với  giải thức compact.   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1) Cho   0, l  L1loc  ¡   là một hàm liên u (0)  u , (2)  0 tục trên (0, ) , xét các phương trình Volterra  s (t )    l  s  (t )  1 (3)với u lấy giá trị trong không gian Hilbert tách r (t )    l  r  (t )  l (t ) (4)được H ,   0, k  L1loc (¡  ) , A là toán tử tuyến Với giả thiết (K), Clément và Nohel (xemtính trên H và f : (0, T ]  H  H là hàm phi [1]) đã chỉ ra rằng hệ (3)-(4) có nghiệm duytuyến, dữ kiện đầu u0  H . nhất nghiệm s(,  ) và r (,  ) , các nghiệm Lớp bài toán này với phần phi tuyến không này đều có tính dương.phụ thuộc vào thời gian, đã được nghiên cứu 3.2. Công thức nghiệm nhẹtrong [5], ở đó tác giả nghiên cứu tính hút Nhằm đưa ra công thức nghiệm nhẹ củatrong khoảng thời gian hữu hạn. Trong bài bài toán, ta cần giả thiết sau về toán tử A :báo này, tôi trình bày kết quả nghiên cứu về (A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xácsự tồn tại nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) định dương, tự liên hợp, xác định trù mật vớitrong hai trường hợp: giải thức compact.  Phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Khi đó, ta xét cơ sở của H gồm các hàmLipschitz. riêng trực chuẩn {en }n 1 của toán tử A và  Phần phi tuyến có tăng trưởng dưới  Av   n vn en , trong đó Aen  n en , n  0tuyến tính. n 1 59Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0và 0  1  2  L  n   khi n   . Đặt v   sup et v(t ) với v  C  0, T  ; H  , 0,T  Dựa vào các hàm s (,  ) , r (,  ) và các giá ta thu được chuẩn tương đương với chuẩntrị riêng của A , ta định nghĩa hai toán tử  sup trên không gian C  0, T  ; H  . S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  H , n 1 ...