Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chuỗi Fourier và hai bài toán Vật lý

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chuỗi Fourier và hai bài toán Vật lý trình bày lí thuyết chuỗi Fourier; ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh; ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình dao động của dây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chuỗi Fourier và hai bài toán Vật lý BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ----------------------- Dương Minh Hiển Tố CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian học tập lớp cao học chuyên ngành toán giải tích (khóa 15), tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán hai trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã hết lòng tham gia giảng dạyï những tri thức và kinh nghiệm quý báu về toán học. Kiến thức toán học mà các thầy, cô truyền thụ đã cho chúng tôi sự hiểu biết sâu sắc, đầy đủ hơn những gì đã được học ở bậc đại học. Hơn nữa, các thầy, cô đã cho chúng tôi sự tự tin, niềm say mê nghiên cứu khoa học, dù chỉ là bước đầu chập chững. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cô TS. Lê Thị Thiên Hương đã dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình viết luận văn. Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên khoá 15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt khóa học. MỞ ĐẦU Chuỗi Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830) của một hàm tuần hoàn biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng ao  f ( x)     an cos nx  bn sin nx  (1) 2 n 1 hay ở dạng phức  f ( x)  ce n  n inx (2) Việc nghiên cứu chuỗi này bắt nguồn từ các ngành của vật lí như lí thuyết dao động và lí thuyết truyền nhiệt. J. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của Euler, d’Alembert và Daniel Bernoulli. J. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt, các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Lí thuyết giải tích về nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) của ông được công bố vào năm 1822. Nhiều nhà toán học nổi tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue gắn liền với ngành này. Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm một vị trí quan trọng trong giải tích. Luận văn nghiên cứu chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong hai bài toán vật lí là dao động của dây và truyền nhiệt trong thanh. Nội dung của luận văn bao gồm các chương mục sau Chương 1 trình bày lí thuyết chuỗi Fourier. Chương 2 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh. Chương 3 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình dao động của dây. Sau cùng là kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn, tuy nhiên, do kiến thức toán học của bản thân còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không nhiều nên luận văn khó tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự góp ý của quí thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Tác giả Chương 1. CHUỖI FOURIER 1.1.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ 2 1.1.1.Hàm tuần hoàn Hàm f(x) xác định trên D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một hằng số dương T sao cho với mọi x thuộc D i) x  T  D ii)f(x+T)=f(x) (1.1) Số T>0 nhỏ nhất có tính chất như vậy được gọi là chu kì tuần hoàn của hàm f(x). Các hàm tuần hoàn quen biết nhất là các hàm sinx, cosx, tanx, cotx,…Ta thường gặp các hàm tuần hoàn trong nhiều ứng dụng của toán học vào các bài toán vật lí và kĩ thuật. Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm tuần hoàn có cùng chu kì T cũng luôn luôn là hàm tuần hoàn có chu kì T. Nếu ta dựng đồ thị của hàm tuần hoàn y=f(x) đối với các giá trị của x thuộc một đoạn [a,a+T] nào đó, thì đồ thị của toàn bộ hàm này sẽ nhận được bằng cách lặp lại tuần hoàn phần đã dựng được (hình 1.1) f(x) 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 Hình 1.1 1.1.2.Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kì 2 Giả sử đối với hàm f(x) có chu kì 2 ta có khai triển sau ao  f ( x)     ak cos kx  bk sin kx  (1.2) 2 k 1 ao Số hạng hằng số ở đây được kí hiệu để cho các công thức này có tính đối xứn ...