Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Tài liệu "Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội" Các phép toán trong ma trận, định thức, giá trị riêng, vecto riêng và chéo hóa ma trận, hệ phương trình tuyến tính Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà NộiCâu l c b T&T - Khoa Toán-Tin T NG H P KI N TH C NH P MÔN LÝ THUY T MA TR N NĂM 2021 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A = ... ... ... ... an1 an2 ... ann Trường Đại học Sư Phạm Hà NộiI CÁC PHÉP TOÁN TRONG MA TRẬN1 Cộng hai ma trận: a) Định nghĩa: Tổng A + B của hai ma trận cùng kích thước m × n (A và B) là một ma trận cùng kích thước, với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A + B)ij = Aij + Bij với 1 ≤ i ≤ n và 1 ≤ j ≤ m. b) Ví dụ: 2 −6 6 5 2 + 6 (−6) + 5 8 −1 + = = . 5 1 4 −9 5 + 4 1 + (−9) 9 −8 c) Tính chất: Cho các ma trận cùng cỡ ta có các tính chất sau: A + B = B + A. A + O = O + A = A. (A + B) + C = A + (B + C). Nếu đặt −A = (−aij )m×n thì A + (−A) = (−A) + A = O.2 Nhân một số thực với một ma trận: a) Định nghĩa: Tích kA của số k ∈ R với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với k: (kA)ij = k · Aij . b) Ví dụ: 2 −6 2 · 2 2 · (−6) 4 −12 2· = = . 5 1 2·5 2·1 10 2 c) Tính chất:Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa phép cộng và phép nhân một số thực với một ma trận: k(A + B) = kA + kB. (k + h)A = kA + hA. k · (h · A) = (k · h) · A. 1 · A = A. 0 · A = O, trong đó 0 ở vế trái là phần tử không của R còn O ở vế phải là ma trận không cỡ m × n (nếu A cỡ m × n).3 Tích hai ma trận: a) Định nghĩa: Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là một ma trận m × n và B là một ma trận n × p, thì ma trận tích AB là ma trận m × p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B: n [AB]ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj = Aik Bkj với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ p. k=1Khoa Toán-Tin Trang 1 Câu lạc bộ T&T b) Ví dụ:   6 5 2 −6 5  2 · 6 + (−6) · 4 + 5 · 12 2 · 5 + (−6) · (−9) + 5 · 2 48 74 4 −9 = = . 5 1 9 5 · 6 + 1 · 4 + 9 · 12 5 · 5 + 1 · (−9) + 9 · 2 142 34 12 2 c) Tính chất: Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu A và B lần lượt có số chiều m × n và n × k, và m = k. Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là: AB = BA. Phép nhân ma trận có các tính chất kết hợp và phân phối khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận: A · (B + C) = A · B + A · C. (B + C) · A = B · A + C · A. k · (B · C) = (k · B) · C = B · (k · C).4 Chuyển vị: a) Định nghĩa: Chuyển vị của ma trận m × n A là ma trận n × m At tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng: (At )ij = Aji . b) Ví dụ:   t 2 5 2 −6 7 = −6 1  . 5 1 10 7 10 c) Tính chất: Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận: (kA)t = k(At ). (A + B)t = At + B t . (At )t = A. (AB)t = B t At .II ĐỊNH THỨCChỉ ma trận vuông mới có định thức.Kí hiệu định thức của ma trận A: D hoặc |A| hoặc det A hoặc det(A).Khoa Toán-Tin Trang 2 Câu lạc bộ T&T1 Phần bù đại số:Cho A = aij n×n và giả sử định thức của các ma t ...