Ứng dụng bất đẳng thức

Chắc chắn ai học toán cũng đều biết đến bất đẳng thức Côsi và vai trò quan trọng của nó trong việc giảitoán , đặc biệt là trong việc chứng minh bất đẳng thức .Sau đây là 1 trong những ứng dụng của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng bất đẳng thức Đây là bài tập mở rộng của mình hồi lớp 10. Mình được 10 điểm 1 tiết đấy! Các bạn đọc rồi cho ý kiếnnhé .Thực ra trước khi viết được bài mở rộng này mình cũng có tham khảo 1 số tài liệu hehe!!! ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI. V Chắc chắn ai học toán cũng đều biết đến bất đẳng thức Côsi và vai trò quan trọng của nó trong việc giảitoán , đặc biệt là trong việc chứng minh bất đẳng thức .Sau đây là 1 trong những ứng dụng của nó. Nhắc lại bất đẳng thức côsi : Cho n số thực ko âm a1 , a 2 ,..., a n ta luôn có : a1 + a 2 + ...a n ≥ n n a1 a 2 ...a n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a1 = a 2 = ... = a n . • Bài toán 1: Cho a,b,c>0. Chứng minh: a+b+c 2 b2 c2 a + + ≥b+c a+c a+b 2Bài giải b+c a2 + ≥ab+c 4 a+c b2 + ≥ba+c a+b+c b2 c2 4 a + + ≥ a + b + c − (b + c + c + a + a + b) / 4 = (theo côsi) => (dpcm) b+a b+c a+c a+b 2 c 2 + ≥cb+a 4 • Bài toán 2: Cho a,b,c,d>0 .Chứng minh: a+b+c+d a2 b2 c2 d2 + + + ≥A= b + 2c + d + 3a c + 2d + a + 3b d + 2a + b + 3c a + 2b + c + 3d 7Bài giải : b + 2c + d + 3a a2 a 2 2a + ≥2 = (theo côsi ) Tương tự với các số hạng còn lại thì ta đượcb + 2c + d + 3a 49 49 7 2(a + b + c + d ) b + 2c + d + 3a + c + 2d + a + 3b + d + 2a + b + 3c + a + 2b + c + 3dA≥ − 7 49 a+b+c+d= (dpcm) 7 • Bài toán 3: Cho a1 ; a 2 ;...a n > 0 Chứng minh: 3 2 2 2 3 3 a + a 2 + ... + a n a a1 aB= + 2 + ... + n ≥ 1 S − a1 S − a 2 S − an n −1Với S = a1 + a 2 + ... + a n ( n ∈ Ν, n ≥ 2)Bài giải: 3 3 2 ( S − a1 )a1 a1 a1 a1 2a + ≥2 =1S − a1 n −1 (n − 1) (n − 1) 2 2 3 3 2 ( S − a 2 )a 2 a2 a2 a2 2a + ≥2 =2S − a2 n −1 (n − 1) ( n − 1) 2 2.............................................. 3 3 2 ( S − a n )a n an an an 2a + ≥2 =nS − an n −1 (n − 1) (n − 1) 2 2 2 2 2 2(a1 + a 2 + ... + a n ) ( S − a1 )a1 + ( S − a 2 ) a 2 + ... + ( S − a n )a n⇒B≥ − n −1 (n − 1) 2Cần chứng minh được :( S − a1) a1 + ( S − a 2 )a 2 + ... + ( S − a n )a n ≤ (n − 1)(a1 + a 2 + ... + a n ) (1) 2 2 2Thật vậy:( S − a1 ) a1 = ( a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n )a1 2 2 2 2 a (n − 1) a 2 + a3 + ... + a n= a1 a 2 + a1 a3 + ... + a1 a n ≤ 1 + 2 2( S − a 2 )a 2 = (a1 + a3 + ... + a n )a 2 2 2 2 2 a 2 (n − 1) a1 + a3 + ... + a n= a 2 a1 + a 2 a 3 + ... + a 2 a n ≤ + 2 2..........................................( S − a n )a n = (a1 + a 2 + ... + a n −1 ) a n ...