Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán

Phép nghịch đảo là một công cụ giúp giải quyết tốt một lớp bài toán hình học, cho lời giải hay và thú vị. Bài viết về ứng dụng của một phép biến hình là tích của phép đối xứng trục và phép nghịch đảo áp dụng trong tam giác, vận dụng kiến thức cơ bản về phép dời hình, đồng dạng trong chương trình THPT và phép nghịch đảo ở lớp 10 chuyên. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN Phạm Văn Khanh Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình Tóm tắt nội dung Phép nghịch đảo là một công cụ giúp giải quyết tốt một lớp bài toán hình học, cho lời giải hay và thú vị. Bài viết về ứng dụng của một phép biến hình là tích của phép đối xứng trục và phép nghịch đảo áp dụng trong tam giác, vận dụng kiến thức cơ bản về phép dời hình, đồng dạng trong chương trình THPT và phép nghịch đảo ở lớp 10 chuyên.1 Mô hình áp dụng Cho 4 ABC độ dài cạnh là a, b, c nội tiếp đường tròn (O), xét các phân giác la , lb , lcvà ánh xạ tích của √ phép đối xứng trục Dla và phép nghịch đảo cực A, tỷ số nghịch đảo √r = bc√kí hiệu NA bc , với điểm X thuộc mặt phẳng tam giác thì X 7→ √ X 0 = Dl a ( X ) 7 →X 00 = NA bc ( X 0 ). Phép biến hình tích như trên ta kí hiệu là f A = NA bc · Dla , f A ( X ) =X 00 , ∀ X 6= A. Trong mf ( P) mở rộng đã bổ sung điểm vô cực ∞ và cho A 7→ ∞,∞ 7→ A, f A xác định như trên là√một song ánh của √mf ( P). Dễ thấy tích ánh xạ nàygiao hoán được. Ta gọi f A = NA bc · Dla = Dla · NA bc ngắn gọn là phép biến hình√ bc-nghịch đảo cực A. √ ac Định nghĩa tương tự cho các phép biến hình tích: f B = NB · Dl b , √f C = NC ab · Dlc .2 Nội dung √Tính chất 1. Gọi đường tròn ngoại tiếp 4 ABC là ω, xét phép biến hình f A = NA bc · Dlatrong mặt phẳng chứa tam giác, ta có: a) B 7→ C, C 7→ B; b) ω 7→ BC, BC 7→ ω; 101 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 c) Với X 6= A, X 7→ X 0 , X 0 7→ X thì các đường thẳng AX và AX 0 là các đường đẳnggiác. √Chứng minh. a) Ta có Dla ( B) = B1 ∈ AC, AB1 = AB = c, NA bc ( B1 ) = B0 : AB1 ·AB0 = bc, AB0 = c, B ≡ C, B 7→ C. Tương tự ảnh của C là B. A X B C X0 lab) Do B, C là ảnh của nhau và đường tròn ( ABC ) có ảnh là đường thẳng qua BC haychính là đt( BC ), và ngược lại ảnh của đường thẳng BC là đường tròn ( ABC ).c) Điểm X thuộc đường thẳng BC và giả sử XAB [ = α qua phép đối xứng trục la thìAB → AC, AX → At, XAB [ → tAC, d X 7→ X 0 ∈ AT : X AC 7 → XAB [ = α; hay cácđường thẳng AX, AX 0 là các đường đẳng giác tại đỉnh A.Tính chất 2. Tam giác ABC có AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại điểm P trong tam giác. Chứngminh 3 đường đẳng giác tương ứng là AA2 , BB2 , CC2 cũng đồng quy tại điểm Q. (Hai điểm P, Q gọi là 2 điểm liên hợp đẳng giác).Chứng minh. Ta có AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại điểm P trong tam giác nên theo Địnhlý Xêva dạng lượng giác ta có sin CAA 1 sin ABB1 sin BCC1 · · = 1. (1) sin A 1 AB sin B [1 BC sin C 1 CAGọi Q là giao điểm của [ d2 . Nối CQ cắt AB tại C 0 , ta chứng minh CC2 ≡ CC1 . AA2 và BB 2Đặt BCC1 = γ = C 0 CA = γ0 , A = = α. Suy ra A CA, C AB A AC 1 AC = A2 AB = 2 1 2 2B − α và B[1 BC = A2 BA = β. Do đó ABB1 = B2 BC = B − β. Do đó kết hợp với (1) ta [ 102 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018có sin A 2 AB sin CBB2 [ sin γ ...