Vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh hình học

Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,…Tài liệu này giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữa các đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh hình học VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC “tailieumontoan.com” I. Lý ThuyêtDate II. Bài tâp Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT tathường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứngminh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,….Bài viết  và ACB Bài 1. Cho tam giác ABC có hai góc ABC  nhọn . Cácnày giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữacác đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn. BH .BD + CH .CE = BC 2 Trước hết, ta nhắc lại các hệ thức sau đây. Hướng dẫn Mẹnh đề 1. Nếu hai cát tuyến AB và CD của một Ađường tròn cắt nhau tại một điểm M (M nằm trong hoặcngoài đường tròn) thì ta có MA.MB = MC. MD. D Mệnh đề 2. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 1) Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và có E HMA.MB = MC.MD. Khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộcmột đường tròn. Mệnh đề 3. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên B K Cngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT (T làtiếp điểm) và cát tuyến MAB ( A , B ∈ (O ) ) . Khi đó ta có Kẻ HK ⊥ BC (K ∈ BC ) . Dễ thấy tứ giác CDHK nội tiếp nênMT 2 = MA .MB theo mệnh đề 1 ta có BH .BD = BK .BC ( 1) Mệnh đề 4. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 3) Tương tự, tứ giác BEHK nội tiếp nên theo mệnh đề 1 ta có  khác góc bẹt. Trên tia Mx lấy hai Cho góc xMy CH .CE = CK .CB ( 2 )điểm A, B. Trên tia My lấy điểm T. Khi đó nếuMT 2 = MA .MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại Cộng 2 vế đẳng thức (1) và (2) ta có:tiếp tam giác ABT. BH .BD + CH .CE= BK .BC + CK .CB= BC . ( BK + CK )= BC 2 Việc chứng minh các mệnh đề trên khá đơn giản, Bài 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyếnxin dành cho bạn đọc. Sau đây ta xét một số bài toán ápdụng các mệnh đề trên. AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. EF là một dây cung đi qua H. Chứng minh rằng a) AEOF là tứ giác nội tiếp.  b) AO là tia phân giác của góc EAF Hướng dẫn ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 3 9 15 B Suy ra CH = CE = a ⇒ BH = BC − HC = a 4 4 4 Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông BHF và E CHF, ta có: A O BF 2 − BH 2 = FH 2 = FC 2 − CE 2 H 15 2 2 92 2 ⇒ BF − 2 a = ( 3a ) − 2 a ⇒ BF 2 = 18a 2 ( 2 ) 2 2 ...