Bài giảng Cơ học giải tích

Bài giảng "Cơ học giải tích" nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích. Trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ học giải tích Bài giảng cơ sở cơ học giải tích CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH - Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích. - Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng.Bài 1. Phân loại cơ hệ, liên kết đặt vào cơ hệ Xét cơ hệ N chất điểm M k chuyển động hệ qui chiếu Oxyz. Vị trí của cơ hệ được xác định bởi 3N thành phần xác định vị trí xi , yi ,zi ; i = 1,N . Vận tốc của các điểm thuộc cơ hệ xác định bởi 3N thành phần vận tốc xi , y i ,zi ; i = 1,N .I. Khái niệm về cơ hệ 1. Cơ hệ tự do Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các thành phần xác định vị trí và vận tốc lấy giátrị bất kỳ trong không gian qui chiều. Ví dụ: Hệ mặt trời, mỗi hành tinh được coi là 1 chất điểm 2. Cơ hệ không tự do Nếu các thành phần xác định vị trí hay vận tốc của cơ hệ chịu một số điềukiện ràng buộc nào đó do các vật thể khác gây nên thì cơ hệ gọi là cơ hệ không tựdo. 3. Liên kết đặt vào cơ hệ Những điều kiện ràng buộc về vị trí hay vận tốc thuộc hệ do các thànhphần khác gây nên gọi là liên kết đặt vào cơ hệ. Về mặt toán học, các liên kết này được biểu thị bởi các đẳng thức hay bấtđẳng thức gọi là các phương trình liên kết hay bất phương trình liên kết. fα ( x1 , y1 ,z1 ,...,xN , y N ,z N ) ≥ 0 gα ( x1 , y1 ,z1 ,...,xN , y N ,z N ,x1 , y1 ,z1 ,...,x N , y N ,zN ) ≥ 0α = 1,m , m là số liên kết.Ví dụ:1. Khi mô tả chất điểm A luôn nằm trên mặt đường nằm ngang dùng pt y A = 0 .2. Khi chất điểm M nằm trong mặt phẳng Oxy, treo trên dây OM=l và dây luôncăng, không giãn, được biểu diễn bằng phương trình xM2 + yM2 = l .24/11/08 1 Bài giảng cơ sở cơ học giải tích Hình 1 3. Hệ mô tả bởi hình trên chịu liên kết mô tả bởi phương trình x A + 2 yB + yC = l , với l là chiều dài dây nối các vật.II. Phân loại liên kết đặt vào cơ hệ 1. Liên kết giữ, không giữ • Liên kết giữ là các liên kết được mô tả bằng những đẳng thức thìchúng gọi là các liên kết giữ fα = 0 hay gα = 0 . • Liên kết không giữ là các liên kết được viết dưới dạng bất đẳng thức fα ≥ 0 hay gα ≥ 0 . Liên kết không giữ tùy trường hợp gọi là các liên kết giữ nếuxảy ra dấu “=” và coi là liên kết không giữ nếu xảy ra dấu bất đẳng thức. 2. Liên kết dừng, không dừng • Liên kết dừng nếu phương trình liên kết không chứa rõ hiển thời gian t ∂fα ∂gα(Sclêônôm). Nghĩa là = = 0, ∀α ∂t ∂t • Liên kết không dừng nếu phương trình liên kết có chứa thời gian t ∂fα ∂gα(Rêônôm). Nghĩa là = ≠ 0, ∀α ∂t ∂t 3. Liên kết Hôlônôm, phi Hôlônôm • Liên kết Hôlônôm (liên kết hình học) nếu trong phương trình liên kếtchỉ chứa các thành phần vị trí. Phương trình liên kết fα ≥ 0 ,α = 1,m . • Liên kết phi Hôlônôm nếu trong phương trình liên kết chứa các thànhphần vị trí và vận tốc. Phương trình liên kết gα ≥ 0 ,α = 1,m .24/11/08 2 Bài giảng cơ sở cơ học giải tíchBài 2. Khái niệm về bậc tự do, Tọa độ suy rộng của cơ hệ 1. Bậc tự do của cơ hệ Mỗi cơ hệ tại mỗi thời điểm có vô số di chuyễn khả dĩ. Vì hệ chịu liên kếtnên các di chuyễn này không độc lập với nhau. Bậc tự do của cơ hệ chính là số di chuyển khả dĩ độc lập của cơ hệ. Xét trường hợp cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của m liên kết.Số bậc tự do của cơ hệ và được xác định như sau: • Nếu cơ hệ chuyển động trong không gian Oxyz n = 3N − m (1.a) • Nếu cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng n = 2N − m (1.b) • Nếu cơ hệ chuyển động trên đường thẳng n= N −m (1.c) 2. Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng là tập hợp tất cả các thông số cần thiết, độc lập và đủ đểxác định vị trí của cơ hệ trong không gian. Tọa độ suy rộng có thể là tọa độDescartes của các chất điểm thuộc cơ hệ, góc quay, các tọa độ cong… Tùytrườn ...