Bài giảng Giải tích 2: Chương 0 - Trần Ngọc Diễm

Bài giảng "Giải tích 2 - Chương 0: Hàm nhiều biến những khái niệm cơ bản" cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy điểm trong Rn, tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact, hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 0 - Trần Ngọc Diễm CHƯƠNG 0: HÀM NHIỀU BIẾNNHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN NỘI DUNG1. Dãy điểm trong Rn.2. Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact.3. Hàm nhiều biến.4. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến. DÃY ĐIỂM TRONG Rn Dãy điểm trong Rn là tập hợp các điểm được gán chỉ số trong N, một dãy điểm tương ứng với n dãy số thực. {Xm} = {X1, X2, …Xm, …} Xm = (x1m, x2m, …, xnm), m = 1, 2, … Xm  X0 = (x10, x20, …, xn0)  Rn  xim  xi0, khi m  , i = 1, 2, …, n  1 1 n n 2xn   ,   lim xn  (0,0), lim (e , n )  (0,1)  n n  n n  CÁC DẠNG TẬP HỢP CƠ BẢNA  Rn là tập đóng  mọi dãy trong A có giớihạn thì giới hạn cũng nằm trong A. (A lấy tất cả các đường biên có thể có)A  Rn là tập mở  phần bù của A trong Rn là đóng (A không lấy bất kỳ phần nào của biên) A đóng A mở 2 2 2 2 2 2 x y R x y R A không đóng, A đóng không mở A đóng A đóngR12  x 2  y 2  R22 R12  x 2  y 2  R22 A là tập bị chận  tồn tại M >0 sao cho x A, ||x||  M x  x12    xn2(A có thể được bao bọc bởi một mặt cầu (hoặc đường tròn)) A là tập compact  A là tập đóng và bị chận A = {(x,y)/ y 0} A không A không A compact compact compact HÀM NHIỀU BIẾNHàm nhiều biến là một ánh xạ biến 1 tập con Dcủa Rn thành một tập con của R. f : D  Rn R x  ( x1,..., xn )  f ( x1,..., xn ) D gọi là miền xác định của f.VD: 1/ z = f(x,y) = ln(x2 + y2), D = R2 {(0,0)} 2/ z = f(x,y) = xy, D = {(x,y)/ x > 0} 3/ F(x,y,z) = xz+z2y + 2 = 0 (hàm ẩn z = z (x,y)) Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾNHàm số z = f(x,y) biểu diễn một mặt congtrong không gian D GIỚI HẠN HÀM 2 BIẾN Cho f(x, y), (x,y) D. f hội tụ về a khi (x,y) (x0, y0) nếu: ( xn , y n )  D,( xn , y n )  ( x0 , y 0 ) : lim ( xn , y n )  ( x0 , y 0 )  lim f ( xn , y n )  a n  n Cách viết giới hạn: lim f ( x , y )  lim f (x, y )  a x  x0 ( x , y )  ( x0 , y 0 ) y y0Lưu ý: không lấy giới hạn theo x trước, y sau hoặcngược lại. Ví dụ 1 / f ( x , y )  x , lim f ( x , y )  x0 , x  x0 y y0 Vì D = R2 và (xn, yn)  (x0, y0)  xn  x0, yn  y0  f (xn, yn) = xn  x0,  (xn, yn)Vậy f ( x , y )  y , lim f ( x , y )  y 0 , x  x0 y y0 Ví dụ xy 22 / lim  , x 1 ln( x  y ) ln 2 y 1 Lấy (xn, yn)  (1,1) xn  y n 2 f ( xn , y n )   ln( xn  y n ) ln 2 Một số lưu ý trong tính giới hạn• Các phép toán và tính chất của giới hạn hàm 1biến vẫn còn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu,tích , thương, giới hạn kẹp,…)• Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor,qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sanghàm 1 biến.• Để ý dạng vô định khi tính giới hạn. xy  2 x  y  2 03 / lim   x 1 x 1 0 y 1 y ( x  1)  2( x  1)  lim  lim( y  2)  1 x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 1  xy  14/ lim ( x , y )(0,0) ln(1  xy ) u 1 u 1 2 1  lim  lim  u 0 ln(1  u ) u 0 u 2 xy 5 / f (x, y )  2 2 x y Không có ghạn khi (x,y) (0, 0)Chọn 2 dãy điểm: 1 1 1X n  (0, )  (0,0),Yn  ( , )  (0,0) n n nnhưng 1 lim f ( X n )  0  lim f (Yn )  n  n  2 2 x y 6 / f (x, y )  2   0 x  y2 x 0 y 0 2 2 x y x yvì 0 | f ( x , y ) | 2  x  y 2 x2  y 2 2 2 (x  y ) y  2 2 x y  y  x 0  0 ...