Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 2 - TS. Trần Ngọc Hội

(NB) Mời các bạn cùng tìm hiểu phép tính tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến được trình bày cụ thể trong "Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 2" của TS. Trần Ngọc Hội. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 2 - TS. Trần Ngọc HộiCHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN A-TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH1. KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa nguyên hàm. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu F′(x)= f(x), ∀ x∈(a,b). 4 x Ví dụ. 1) là một nguyên hàm của x3 trên R. 4 2) cosx là một nguyên hàm của − sinx trên R. Khi nói đến nguyên hàm của f(x) mà không chỉ rõ khoảng (a,b) thì ta hiểu đó là nguyênhàm của f(x) trên các khoảng xác định của f(x). 1.2. Định lý. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b). Khi đó 1) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên (a, b). 2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C. 1.3. Định nghĩa tích phân bất định Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kýhiệu là ∫ f (x)dx . Nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: ∫ f (x)dx = F(x) + C. x4 ∫ x dx = + C; ∫ sin xdx = − cos x + C. 3 Ví dụ. 4 1.4. Tính chất 1) Nếu f(x) có nguyên hàm thì ( ∫ f (x)dx )′ = f (x). 2) 2)∫ f ′(x)dx = f (x) + C. 3) Với k là hằng số, ta có ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx + C. 4) ∫ [f (x) + g(x)]dx =∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx. 59 1.5. Bảng các tính phân cơ bản x α +1 dx α∫ x dx = α +1 +C (-1 ≠ α : Const) ∫ x = 2 x +C dx 1 dx∫ x 2 = − x +C ∫ x = ln | x | + C x x∫ e dx = e + C x ax ∫ a dx= ln a +C (0 < a ≠ 1: Const)∫ sinxdx = − cosx + C ∫ cosxdx = sinx +C dx 2 dx 2∫ cos2 x = ∫ (1 + tg x)dx ∫ sin 2 x = ∫ (1+ cotg x)dx = tgx +C = − cot gx + C∫ tgxdx = − ln | cos x | + C ∫ cot gxdx = ln | sin x | + C dx x dx∫ = a rcsin + C ∫ = n x + x2 + h + C a2 − x2 a x2 + h(0< a: Const) (h: Const) dx 1 x dx 1 x+a∫a +x 2 2 = arctg + C a a ∫ a2 − x2 = 2a ln x−a +C(0 ≠ a: Const) (0 ≠ a: Const) dx 1 x − a∫ x − a2 2 = 2a ln x + a + C(0 ≠ a:Const) 1 1 x∫ a 2 − x2 dx = 2 x a 2 − x 2 + a 2 a rcsin 2 a + C (0 < a : C o n st) 1 1∫ x 2 + h dx = 2 x x 2 + h + h.ln | x + 2 x 2 + h | +C (h: Const) Chú ý. Nếu ∫ f (x)dx = F(x) + C thì với a ≠ 0 và b là các hằng số, ta có 1 ∫ ...