Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 2 - ThS. Vũ Quỳnh Anh

"Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều–cơ sở của không gian Rn" trình bày khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính; sự phụ thuộc tuyến tính; cơ sở của không gian vectơ n chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 2 - ThS. Vũ Quỳnh Anh BÀI 2 CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ N CHIỀU – CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN Rn ThS. Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dânv1.0014105205 1 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ Cho các vectơ X1 = ( 2, −3, 4 ) X2 = ( 3, 1, −5) X3 = (−1, 4, 2 ) X = (−1, 0 , 3) Tìm 3 số x, y, z sao cho: X = x.X1 + y.X2 +z.X3v1.0014105205 2 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm được các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính một vectơ qua một hệ vectơ. • Nắm được khái niệm sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ, khái niệm cơ sở của không gian. • Ngoài ra sinh viên biết cách xác định một hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, một vectơ có biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ hay không. • Xác định được một hệ vectơ có là cơ sở của không gian Rn hay không, xác định được tọa độ của một vectơ trong một cơ sở.v1.0014105205 3 NỘI DUNG Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính Cơ sở của không gian vectơ n chiềuv1.0014105205 4 1. KHÁI NIỆM TỔ HỢP TUYẾN TÍNH VÀ PHÉP BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH 1.1. Khái niệm tổ hợp tuyến tính 1.2. Phép biểu diễn tuyến tính 1.3. Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tínhv1.0014105205 5 1.1. KHÁI NIỆM TỔ HỢP TUYẾN TÍNH • Định nghĩa: Trong không gian Rn (n cố định) cho m vectơ: X1, X2, …, Xm. (1) Lấy m số bất kỳ α1, α2, …, αm và lập tổng: α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2) • Định nghĩa: Mỗi tổng (2), trong đó α1, α2, …, αm là các số thực cho trước, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ (1). Các số αi (i = 1, 2,…, m) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó. • Từ các vectơ (1) ta có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính của chúng.v1.0014105205 6 1.2. PHÉP BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH • Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X  Rn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …, Xm khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1, X2, …, Xm bằng vectơ X, tức là tồn tại các số thực α1, α2, …, αm sao cho X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm. • Đặc biệt, nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua một vectơ Y (X = α-Y) thì ta nói vectơ X tỷ lệ với vectơ Y. • Tính chất: Vectơ 0n luôn biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ n chiều bất kì. • Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, … , Xm và mỗi vectơ Xi, i = 1, 2, …, m đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1, Y2, …, Yp thì vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1, Y2, …, Yp • Định lý trên cho thấy quan hệ biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu.v1.0014105205 7 1.3. DẠNG VECTƠ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Cho hệ phương trình a11x1  a12  ...  a1n x n  b1  a21x1  a22  ...  a2n x n  b2  (1) ............................... am1x1  am2  ...  amn x n  bm Xem mỗi cột trên là một vectơ m chiều, ta có thể biểu diễn hệ phương trình đó dưới dạng tương đương như sau:  a11   a12   a1n   b1           a 22   a 22   a 2n  b x1 + x2 + ... + x n =  2  ...   ...   ...   ...          a  m1  a  m2  a  mn   bm  c c c  x A  x A  xn A n  B (2) 1 1 2 2v1.0014105205 ...