Bài giảng Chương 3: Không gian Rn

Mời các bạn tham khảo Bài giảng Chương 3: Không gian Rn sau đây để nắm bắt được những kiến thức khái niệm về không gian Rn; độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính; cơ sở của Rn; tọa độ vector trong cơ sở; ma trận chuyển cơ sở.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 3: Không gian Rn Chương 3. Không gian Rn n CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN R1. Các khái niệm về không gian Rn2. Độc lập tuyến tính- Phụ thuộc tuyến tính n3. Cơ sở của R4. Tọa độ vector trong cơ sở5. Ma trận chuyển cơ sở ---------------------------------------- 1 Chương 3. Không gian Rn n1. Các khái niệm về không gian R1.1. Định nghĩa• Với ℝ là tập các số thực, ta định nghĩa ℝ = {(x1, x2 ) | x1, x2 ∈ ℝ }, 2 ℝ = {(x1, x2 , x 3 ) | x1, x2 , x 3 ∈ ℝ }, 3 n ℝ = {(x1, x2 ,..., xn ) | x1, x2 ,..., xn ∈ ℝ }. 2 Chương 3. Không gian Rn n• Trên tập ℝ , ta định nghĩa 2 phép toán: Phép cộng: (x1,..., xn ) + (y1,...,yn ) = (x1 + y1,..., xn + yn ). Phép nhân vô hướng: λ (x1,..., xn ) = (λx1,..., λxn ), λ ∈ ℝ . 3 Chương 3. Không gian Rn n• Trên tập ℝ , ta định nghĩa sự bằng nhau:  x = y ,   1 1 x ,..., x = y ,..., y ⇔  ( 1 n ) ( 1 n ) ..........  xn = yn .   4 Chương 3. Không gian Rn1.2. Mệnh đề. Tập hợp ℝn cùng với các phép toántrên thỏa 8 tính chất sau: x +y = y +x . (x + y ) + z = x + (y + z). ∃ θ ∈ ℝ n , ∀x ∈ ℝ n : x + θ = x . ∀x ∈ ℝ n , ∃x ∈ ℝ n : x + x = θ . n ∀x, y ∈ ℝ , ∀k ∈ ℝ : k (x + y ) = kx + ky . 5 Chương 3. Không gian Rn n∀x ∈ ℝ , ∀k,t ∈ ℝ : (k + t )x = kx + tx . n∀x ∈ ℝ , ∀k,t ∈ ℝ : (kt )x = k (tx ).∀x ∈ ℝn , 1.x = x . 6 Chương 3. Không gian Rn• Tập hợp ℝn cùng với các phép toán thỏa 8 tính chấtnhư trên được gọi là một không gian vector. n• Mỗi phần tử của ℝ được gọi là một vector.• θ được gọi là vector không, x được gọi là vectorđối của vector x . 7 Chương 3. Không gian Rn1.3. Định nghĩa (Không gian con)• Cho ∅ ≠W ⊂ ℝn . Ta nói W là không gian con của nℝ nếu: a) ∀x, y ∈W ⇒ (x + y ) ∈W ; b) ∀x ∈W , ∀λ ∈ ℝ ⇒ (λx ) ∈W . 8 Chương 3. Không gian RnVD 1. Chứng minh các tập sau là không gian con của 3ℝ : a) W = {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}. b) W = {(x1, x2 , x 3 ) | x1 + x2 + x 3 = 0}. 9 Chương 3. Không gian RnVD 2. Chứng minh tập hợp W = {(a,1,1,1) | a ∈ ℝ } 4không phải là không gian con của ℝ .Mệnh đề. Tập W ⊂ ℝn là không gian vector con của nℝ nếu và chỉ nếu λx + y ∈W , ∀x, y ∈W , ∀λ ∈ ℝ . 10 Chương 3. Không gian Rn2. Độc lập tuyến tính- phụ thuộc tuyến tính• Trong ℝn , cho các vector u1, u2 ,..., um . Vector u = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm umđược gọi là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,..., um . n Bài toán: Trong ℝ , cho các vector u1, u2 ,..., um và vector u . Khi nào u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,..., um ? 11 Chương 3. Không gian Rn 3VD 3. Trong ℝ cho các vector: u = (2, −3, 3), u1 = (1, −2, 3), u2 = (0,1, −3).Hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 không ? 12 Chương 3. Không gian Rn 3VD 4. Trong ℝ cho các vector: u = (1, m,1), u1 = (1,1, 0), u2 = (2,1,1), u3 = (3, 2,1).Tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 , u3 ?Đáp số: m = 0 . 13 Chương 3. Không gian Rn• Trong ℝn , cho tập S = {u1, u2 ,..., um }. Ta nói S làtập độc lập tuyến tính nếu λ1u1 + ... + λm um = θ ⇒ λ1 = λ2 = ... = λm = 0 .Ngược lại, ta nói S là tập phụ thuộc tuyến tính. 14 Chương 3. Không gian RnVD 5. Trong ℝ 3 , hãy xét tính độc lập tuyến tính củahệ các vector sau:a) S1 = {u1 = (1,1, 0), u2 = (1, 0,1), u3 = (0,1,1)}.b) S2 = {v1 = (1, −2,1), v2 = (2,1, −1), v3 = (7, −4,1)} . 15 Chương 3. Không ...