Bài tập môn Đại số sơ cấp

Bài tập Đại số sơ cấp giúp cho các bạn biết được một số dạng bài tập và cách giải chi tiết đối với môn Đại số sơ cấp. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích. Mời các bạn tham khảo tài liệu để bổ sung thêm kiến thức về lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập môn Đại số sơ cấp BÀITẬPĐẠISỐSƠCẤPBai1/369 ̀ Chưngminhcacbâtđăngth ́ ́ ́ ̉ ức: a b ca, + + 3(a, b, c > 0) b c ab, a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca ̉Giai: a b c ́ ̣a,ApdungBĐTCauchycho3sôkhôngâm ́ , , ,taco:́ b c a a b c abc a b c + + 3 � + + �3 (đpcm) b c a bca b c ab, a + b + c ab + bc + ca 2 2 2 � 2(a 2 + b2 + c 2 ) − 2(ab + bc + ca) = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 �0 (đpcm)Bai2/369 ̀ ChưngminhcacBĐT ́ ́a, a + b 1 + ab trongđó a 1, b 1 1 1 2b,Vơi ́ a b 1 thì + 1 + a 1 + b2 2 1 + abGiai: ̉a, a + b 1 + ab (1) trongđó a 1, b 1(1) � a 2 + 2ab + b 2 �1 + 2ab + a 2b 2 � a 2 + 2ab + b 2 − (1 + 2ab + a 2b 2 ) �0 � a 2 + b2 − 1 − a 2b 2 �0 � (a 2 − 1)(1 − b 2 ) �0 a2 −1 0 a2 −1 0Vì a 1, b 1 � (a 2 − 1)(1 − b 2 ) �0 (đpcm) 2 b −1 0 1− b 0 2 1 1 2b,Vơi ́ a b 1 thì + (2) 1 + a 1 + b 1 + ab 2 2 1 1 2(2) � + − �0 1 + a 1 + b 1 + ab 2 2 (1 + b 2 )(1 + ab) + (1 + a 2 )(1 + ab) − (1 + a 2 )(1 + b 2 ) ۳ 0 (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + ab) � ab3 + b 2 + ab + 1 + a 3b + a 2 + ab + 1 − 2a 2b 2 − 2a 2 − 2b 2 − 2 �0 � ab3 + a3b − 2a 2b 2 − a 2 − b 2 + 2ab �0 � ab(a − b)2 − (a − b)2 �0 � (ab − 1)(a − b) 2 �0Vì a b 1 nênab 1 � (ab − 1)(a − b) 2 �0Bài3/369 Chứngminhbấtđẳngthức ( a + c) ( b + d ) ab + cd ( a , b, c , d > 0 )Giải:Tacó:Do a, b, c, d > 0 nênbìnhphươnghaivếtađược ab + ad + cb + cd ab + cd + 2 abcd� ad + bc �2 abcd ( ) 2� ad − bc �0 ∀a, b, c, d > 0. đpcm.Bai4/369Ch ̀ ưngminhcacBĐT ́ ́ a m − bm a n − bna, > vơia>b>0;n>m;m,n ́ N a m + bm a n + b nb, (1 + x)n + (1 − x) n < 2n vơi|x|1 ̉Giai: a m − bm a n − bna, > vơia>b>0;n>m;m,n ́ N a m + bm a n + b n (a m − bm )(a n + b n ) (a n − b n )(a m + b m )� n − >0 (a + b n )(a m + b m ) (a n + b n )(a m + b m ) 2(a mb n − a nb m )� n >0 (a + b n )(a m + b m ) m−n m−n m−n �a ��a >b �� � > 0 �b �b, (1 + x) + (1 − x) n < 2n (1)vơi|x|1 a = 1+ xĐăṭ � a + b = 2 � ( a + b) n = 2 n b = 1− x(1) � a n + b n < 2n Taco: ́ (a + b)n = a n + na n −1b + .. + nab n −1 + b n� (a + b) n = a n + b n + (na n −1b + .. + nab n −1 )Mà na n −1b + .. + nab n −1 > 0 nên � a n + bn < 2n (đpcm)Bài5/369 ChứngminhBĐTsauvớimọia,b,c.a, a 2 + b 2 + 1 ab + a + bNhânhaivếvới2tađược: 2a 2 + 2b 2 + 2 2ab + 2a + 2b� a 2 − 2ab + b 2 + a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 �0� (a − b) 2 + (a − 1) 2 + (b − 1) 2 �0 (luônđúng ∀ a,b,c)b, a 2 + b2 + 4 ab + 2 (a + b)� 2a 2 + 2b 2 + 8 �2ab + 4 (a + b) � a 2 + b 2 − 2ab + a 2 − 4a + 4 + b 2 − 4b + 4 �0� (a − b) 2 + (a − 2) 2 + (b − 2) 2 �0 (luônđúng ∀ a,b,c) 1c, a 2 + b 2 + c 2 ab − ac + 2bc 4 21 2 �1 � 0 � a − b + c ��0 (luônđúng ∀ a,b,c) a + b 2 + c 2 − ab + ac − 2bc ��4 �2 �Bài6/369 Chứngminhrằngvớimọi x, y tacóx + 5 y − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0 2 2Giải:Tacó:VT = x 2 − 2 x ( 2 y − 1) + ( 2 y − 1) + y 2 − 2 y + 2 2 = ( x − 2 y + 1) + ( 2 y − 1) + ( y − 1) + 1 1 ...