Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)Sự khả vi và vi phân.Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0)(Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0)Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Chương 1:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần 1 Nội dung1. Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)2. Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)3. Sự khả vi và vi phân. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) f f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) = lim x ∆x 0 ∆x (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) f f ( x0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 ) fy ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) = lim y ∆y 0 ∆y Ý nghĩa của đhr cấp 1Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b)f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 củaC1 tại x = a.f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần giaocủa S với mp x = a) tại y = b Các ví dụ về cách tính.1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2), fy (1,2)fx (1,2) : cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến 2 f ( x , 2) = 6 x + 4 x 2� fx (1,2) = (6 x + 4 x ) |x =1 = 12 x + 4 |x =1 = 16 f(x,y) = 3x2y + xy2fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến 2 f (1, y ) = 3y + y 2 � fy (1,2) = (3y + y ) |y = 2 = (3 + 2 y ) |y = 2 = 7 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với mọi (x, y) ∈ R2fx ( x , y ) Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2 fx ( x , y ) = 6 xy + y , ∀( x , y ) 2 Áp dụng tính: fx (1,2) = (6 xy + y ) |x =1, y =2 = 16(Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2fy ( x , y ) Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2 fy ( x , y ) = 3x + x 2 y , ∀( x , y ) Áp dụng tính: 2 fx (1,2) = (3x + 2 xy ) |x =1, y =2 = 72/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y −1fx ( x , y ) = yx , ∀x > 0 1−1� fx (1,1) = 1 �1 = 1; yfy ( x , y ) = x ln x , ∀x > 0 1� fy (1,1) = 1 ln1 = 0 xy ,( x , y ) (0,0)3/ Cho f (x, y ) = x 2 + y 2 0, ( x , y ) = (0,0) a/ Tính fx (0,1) b/ Tính fx (0,0) xy 2 2 ,( x , y ) (0,0) f (x, y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0)a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. 2 2 2 y (x + y ) − 2x y fx ( x , y ) = 2 2 2 , ∀( x , y ) (0,0) (x + y )� fx (0,1) = 1 xy 2 2 ,( x , y ) (0,0) f (x, y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0)b/ Tính fx (0,0) (0,0) là điểm phân chia biểu thức ⇒ Tính bằng định nghĩa f ( x0 + ∆x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 ) = lim ∆x 0 ∆x f (0 + ∆x ,0) − f (0,0)fx (0,0) = lim = lim 0 = 0 ∆x 0 ∆x ∆x 0 − x2 +y 2 fx ( x , y ) 4/ Cho f (x, y ) = e tính Hàm f xác định tại, mọi (x,y) x − x2 +y 2fx ( x , y ) = − e , ∀( x , y ) (0,0) 2 2 x +y Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0) − x2 +y 2 f (x, y ) = e • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa f (0 + ∆x ,0) − f (0,0) − ∆x 2 e −1 = ∆x ∆x − ∆x 2 e −1 � lim =m1 ∆x 0 ∆xf không có đạo hàm theo x tại (0, 0)(f’x(0,0) không tồn tại) . Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) xz Cho f ( x , y , z ) = x + ye Tính fx , fy , fz tại (0, −1,2) xzfx = 1 + yze � fx (0, −1,2) = 1 − 2 = −1 xzfy = e xzfz = xye ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAOXét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biếnĐạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếucó) của f’x, f’y 2 2 f �f � f = f �f �fxx = f = 2 = � � xy = x2 x x�x � x y y x 2 2 f � f� f �f �fyx = = fyy = f 2 = = � � y x x y y y y y y VÍ DỤf ( x , y ) = x 2 + xy + cos( y − x )Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của ffx = 2 x + y + sin( y − x ) fy = x − sin( y − x )fxx = ( fx ) x = ( 2 x + y + sin( ...