CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §1.KHÁINIỆMCHUNG

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §1.KHÁINIỆMCHUNG Trong chương này chúng ta sẽ xét các phương pháp số để giải các phươngtrìnhđạisốtuyếntínhdạng: ⎧ a11x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + ⋅⋅ ⋅ + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪a n1x1 + a n2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a nn x n = b n ⎩ Cácphươngtrìnhnàycóthểviếtgọndướidạng: [A][x]=[b] ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §1.KHÁINIỆMCHUNG CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §1.KHÁINIỆMCHUNG Trong chương này chúng ta sẽ xét các phương pháp số để giải cácphươngtrìnhđạisốtuyếntínhdạng: ⎧ a11x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + ⋅⋅ ⋅ + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪a n1x1 + a n2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a nn x n = b n ⎩Cácphươngtrìnhnàycóthểviếtgọndướidạng: [A][x]=[b] Trongđó: ⎡ a11 a12 ⋅⋅⋅ a1n ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢a a 22 ⋅⋅⋅ a 2n ⎥ ⎢b ⎥ ⎢x ⎥ [ A] = ⎢ 21 ⎥ [ b] = ⎢ 2⎥ [ x] = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⎥ ⎢⋅⋅⋅⎥ ⎢⋅ ⋅ ⋅⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a n1 a n2 ⋅⋅⋅ a nn ⎦ ⎣ bn ⎦ ⎣xn ⎦Tasẽxét3trườnghợp: sốphươngtrìnhbằngsốẩnsốnênmatrận[A]làmatrậnvuông sốphươngtrìnhnhỏhơnsốẩnsố sốphươngtrìnhlớnhơnsốẩnsố §2.NGHIỆMCỦAHỆPHƯƠNGTRÌNHĐẠISỐTUYẾNTÍNH1.Trườnghợpkhôngsuybiến:Khisốphươngtrìnhmbằngsốẩnsốn,matrận[A]vuôngvàtacó: [ x ] = [ A ]−1 [ b] (1)nếumatrậnAkhôngsuybiến,nghĩalàđịnhthứccủamatrậnkháckhông.CáclệnhMATLABđểgiảihệlà(ctsys.m): clc A=[12;34]; b=[‐1;‐1]; x=A^‐1*b %x=inv(A)*b2.Trườnghợpsốphươngtrìnhíthơnsốẩn(nghiệmcựctiểuchuẩn):Nếusố 135phươngtrìnhmíthơnsốẩnsốnthìnghiệmkhôngduynhất.Giảsửmhàngcủamatrậnhệsố[A]làđộclậpthìvectơnchiềucóthểphântíchthànhhaithànhphần: [ x] = [ x]+ + [ x]− (2)Trongđómộtmatrậnlàmatrậnkhônggianhàngcủamatrận[A]vàđượcviếtdướidạngtổhợpcủa: [ x]+ = [ A]T [ α ] (3)vàmatrậnkialàmatrậnkhônggiankhôngsaocho: [ A ][ x]− = 0 (4)Nhưvậy: [ A ]([ x ]+ + [ x]− ) = [ A ][ A ]T [α ] + [ A ][ x]− = [ A ][ A ]T [α ] = [ b] (5)Do[A][A]Tlàmatrậnkhôngsuybiếnm×mcóđượcbằngcáchnhânmatrậnm×nvớimatrậnn×mnêntacóthểgiảiphươngtrìnhđốivới[α]đểcó: −1 [ α ]0 = ⎡ AAT ⎤ [ b] ⎣ ⎦ (6)Thay(6)vào(3)tacó: −1 [ α ]0+ = [ A ]T [α ]0 = [ A ]T ⎡ AAT ⎤ [ b] ⎣ ⎦ (7)Điềunàythoảmãnphươngtrình[A][x]=[b].Tuynhiênnókhônglànghiệmduy nhất vì nếu thêm bất kì một vec tơ [x] thoả mãn (4) thì nó sẽ cũng lànghiệm.MATLABdùnglệnhpinvđểgiảihệ(ctpinv.m) A=[12]; b=3; x=pinv(A)*b3.Trườnghợpsốphươngtrìnhnhiềuhơnsốẩn(nghiệmsaisốbìnhphươngbénhất):Nếusốphươngtrìnhmlớnhơnsốẩnsốnthìkhôngtồntạinghiệmthoảmãnđầyđủcácphươngtrình.Tacốgắngtìmvectơnghiệmcósaisố[e]nhỏnhất. [ e ] = [ A][ x] − [ b] (8)Vậythìbàitiámcủatalàcựctiểuhoáhàm: J = 0.5 e = 0.5 [ A ][ x ] − [ b ] = 0.5 ⎡[ A ][ x ] − [ b]⎤ ⎡[ A ][ x ] − [ b ]⎤ (9) 2 2 T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦TatìmcựctiểucủaJbằngcáchchođạohàmtheoxcủa(9)bằngkhông. ∂ −1 J = [ A ] ⎡[ A ][ x ] − [ b ]⎤ = 0 [ x ]0 = ⎡[ A ]T [ A ]⎤ [ A ]T [ b] T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (10) ∂x 136Chú ý là ma trận [A] có số hàng lớn hơn số cột cho nên không nghịch đảođược.Nghiệmsaisốbìnhphươngbénhấttìmđượcnhớdùnglệnh pinvhayphépchiatrái(ctover.m): A=[1;2]; b=[2.1;3.9]; x=pinv(A)*b x=A x=(Aʹ*A)^‐1*Aʹ*b Để tiện dù ...