Chương 8: Không gian vectơ

Định nghĩa 8.1. Một tập hợp gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự có dạng: X = (x1, x2, x3,..., xn) được gọi là một vectơ dòng n chiều; hoặc có dạng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 8: Không gian vectơ Ch¬ng 8: Kh«ng gian vect¬ 8.1. Kh«ng gian vect¬ n chiÒu8.1.1.Vect¬ n chiÒu.§Þnh nghÜa 8.1. Mét tËp hîp gåm n sè thùc ®îc s¾p xÕp cã thø tù cã d¹ng: X =(x1, x2, x3,..., xn) ®îc gäi lµ mét vect¬ dßng n chiÒu; hoÆc cã d¹ng:  x1  ÷  x2 ÷ . ÷ X =  ÷®îc gäi lµ mét vect¬ cét n chiÒu. . ÷ . ÷ ÷ x ÷  n xj (j = 1, n ) ®îc gäi lµ thµnh phÇn thø j cña vect¬. Hai vect¬ n chiÒu ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu c¸c thµnh phÇn t¬ng øng b»ngnhau vµ ®îc gäi kh¸c nhau nÕu cã Ýt nhÊt mét thµnh phÇn kh¸c nhau. X = (1, 0, −3) lµ vect¬ dßng 3 chiÒu víi x1 = 1, x2 = 0, x3 = −3.VÝ dô 8.1  2 Y =  ÷ lµ vect¬ cét 2 chiÒu víi x1 = 2, x2 = 1. 1  Mét vect¬ n chiÒu mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0 ® îc gäi lµ vect¬kh«ng n chiÒu vµ ký hiÖu lµ 0n= (0, 0, ..., 0). Mét vect¬ n chiÒu cã thµnh phÇn thø j b»ng 1, cßn c¸c phÇn tö kh¸c ®Òub»ng 0 ®îc gäi lµ vect¬ ®¬n vÞ n chiÒu thø j vµ ký hiÖu lµ Ej. Ej = (0, 0, ..., 1, 0,..., 0). Nh vËy cã n vect¬ dßng ®¬n vÞ vµ n vect¬ cét ®¬n vÞ E1, E2, ...., En.8.1.2. C¸c phÐp tÝnh vÒ vect¬. Cho hai vect¬ n chiÒu X = (x1, x2, ...., xn), Y = (y1, y2, ...., yn); k lµ sè thùc bÊtkú. Th× phÐp céng hai vect¬ X, Y vµ phÐp nh©n vect¬ X víi sè k ®îc ký hiÖu vµx¸c ®Þnh nh sau: X + Y = (x1 + y1, x2+ y2,..., xn+ yn); kX = (kx1, kx2, ...., kxn). TÝch v« híng cña hai vect¬ X vµ Y ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: < X,Y > = x1 y1 + x2y2 + ...+ xnyn.VÝ dô 8.2. Cho X = (1, 3, −2, 0), Y = (−4, 2, 6, 3). Th×: X + Y = (−3, 5, 4, 3); 2X = (2, 6, −4, 0).8.1.3. Kh«ng gian vect¬ n chiÒu.§Þnh nghÜa 8.2. TËp hîp tÊt c¶ c¸c vect¬ n chiÒu, trªn ®ã x¸c ®Þnh phÐp céngvect¬ vµ phÐp nh©n mét vect¬ víi mét sè ® îc gäi lµ kh«ng gian vect¬ n chiÒu. KýhiÖu lµ R n.VÝ dô 8.3. R1 lµ trôc sè; vect¬ 0 lµ sè 0; vect¬ ®¬n vÞ lµ sè 1. R2 lµ mÆt ph¼ng to¹ ®é; vect¬ 02 lµ (0,0); hai vect¬ ®¬n vÞ lµ E1= (1,0) vµE2= (0,1).§Þnh nghÜa 8.3. Trong R n cho tËp hîp C . NÕu C ≠ ∅, tæng cña hai vect¬ bÊtkú trong C vµ tÝch cña mét sè víi mét vect¬ bÊt kú trong C còng lµ mét vect¬ cñaC .Th× tËp C ®ù¬c gäi lµ mét kh«ng gian con cña Rn.VÝ dô 8.4. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ c¸c kh«ng gian con cña Rn. C1 = {( x1, x2, ...., xn) ∈ Rn: xi = xj; 1 ≤ i < j ≤ n}, C2 = {( x1, x2, ...., xn) ∈ Rn: x1 + x2 + ... + xn = 0; 1 ≤ i < j ≤ n}.VÝ dô 8.5. DÔ dµng chøng minh ®îc c¸c kÕt qu¶ sau: (i) Mäi ®êng th¼ng trong R2 ®i qua ®iÓm (0,0) ®Òu lµ kh«ng gian con cñaR2. (ii) Mäi ®êng th¼ng (mÆt ph¼ng) trong R3 ®i qua ®iÓm (0,0,0) ®Òu lµkh«ng gian con cña R3.NhËn xÐt 8.1. (i) TËp { 0n} lµ mét kh«ng gian con cña Rn vµ lµ kh«ng gian con nhá nhÊt cñaRn. Kh«ng gian con lín nhÊt cña Rn lµ Rn. (ii) Mäi kh«ng gian con Rn cña ®Òu chøa vect¬ 0n. 8.2. ®éc lËp tuyÕn tÝnh-phô thuéc tuyÕn tÝnh8.2.1. Tæ hîp tuyÕn tÝnh. Trong Rn cho tËp hîp C . XÐt c¸c vect¬ cã thÓ nhËn ®îc tõ C qua c¸c phÐpcéng vect¬ vµ phÐp nh©n mét vect¬ víi mét sè.§Þnh nghÜa 8.4. Mét vect¬ X ∈ Rn ®îc gäi lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ C (hay X ®îc biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ thuéc Cthuéc ) nÕu X cã thÓviÕt díi d¹ng: X = a1x1 + a2x2 + ...+ amxmtrong ®ã xj ∈ C, aj ∈ R (j = 1, 2,..., m). C trong Rn v× 0.X =VÝ dô 8.6. (i) Vect¬ 0n lu«n lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña mäi tËp0n víi mäi X ∈ C.(ii) Trong Rn cho tËp C = {E1, E2,..., En c¸c vect¬ ®¬n vÞ}. Mäi vect¬ trong Rn ®Òulµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp C .(iii) Trong Rn cho hÖ {A1, A2,..., Am}. Vect¬ Aj (1 < j < m) biÓu thÞ tuyÕn tÝnh quac¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ nÕu tån t¹i c¸c sè k1, k2,..., kj-1, kj+1,..., km sao cho: Aj = k1A1 + k2A2 + ...+ kj-1Aj-1 + kj+1Aj+1 + ...+ kmAm .Chó ý 8.1. (i) Do h¹n chÕ cña ch¬ng tr×nh m«n häc, ta chØ h¹n chÕ xÐt tæ hîp tuyÕntÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp C, víi tËp C chØ cã h÷u h¹n phÇn tö. (ii) Trong ch¬ng nµy ta lu«n gi¶ thiÕt sè vÐct¬ cña mét hÖ vÐct¬ lµ mét sènguyªn, d¬ng. C§Þnh nghÜa 8.5. TËp hîp tÊt c¶ c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp®îc gäi lµ bao tuyÕn tÝnh cña C, ký hiÖu lµ l(C).VÝ dô 8.7. (i) l(0n) = 0n . (ii) Cho vect¬ X bÊt kú trong Rn th× l(X) = {kX: k ∈ R}NhËn xÐt 8.2.(i) Cho E1, E2,..., En lµ c¸c vect¬ ®¬n vÞ trong Rn th× l(E1, E2,..., En) = Rn.(ii) Cho A1, A2,..., Am lµ c¸c vect¬ trong Rn th× l(A1, A2,..., Am) lµ mét kh«ng giancon cña Rn.( l(A1, A2,..., Am) ®îc gäi lµ kh«ng gian con sinh bëi hÖ {A1, A2,..., Am}).8.2.2. §Þnh nghÜa hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh. C, aj ∈ R (j = 1,§Þnh nghÜa 8.6. Mét rµng buéc a1x1 + a2x2 + ...+ amxm víi xj ∈ C. Quan hÖ tuyÕn tÝnh trªn ®îc2,..., m) ®îc gäi lµ mét quan hÖ tuyÕn tÝnh cñagäi lµ kh«ng tÇm thêng nÕu cã Ýt nhÊt mét hÖ sè aj ≠ 0.§Þnh nghÜa 8.7. HÖ {A1, A2,..., Am} c¸c vect¬ trong Rn ®îc gäi lµ hÖ phô thuéctuyÕn tÝnh nÕu cã mét quan hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng tÇm th êng. HÖ {A1, A2,..., Am}c¸c vect¬ trong Rn ®îc gäi lµ hÖ ®éc ...