CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THPT

CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THPT CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THPT chuyeân Quang Trung Nguyeãn Vónh Duy-CTK6 Lời Mở Đầu Nhieàu luùc toâi ñaët ra caâu hoûi khi ñoïc lôøi giaûi cuûa khaù nhieàu baøi toaùn ñaëc bieät laø BÑTtoâi khoâng theå hieåu noåi taïi sao laïi coù theå nghó ra noù neân cho raèng ñaáy laø nhöõng lôøi giaûikhoâng ñeïp vaø thieáu töï nhieân. Ñeán caáp ba khi ñöôïc hoïc nhöõng kieán thöùc môùi toâi môùibaét ñaàu coù tö töôûng ñi saâu vaøo baøi toaùn vaø lôøi giaûi cuûa chuùng.Vaø cuõng töø ñoù coängtheâm nhöõng kieán thöùc coù ñöôïc trong quaù trình trình hoïc taäp toâi ñaõ ñi vaøo tìm hieåu moätphöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc: ‘‘ Phöông phaùp söû duïng tieáp tuyeán ’’. Đây làphương pháp chứng minh bất đẳng thức liên quan đến các hàm số có đạo hàm. Moät soá keát quaû trong chuyeân ñeà naøy ñaõ coù ôû moät soá saùch tham khaûo veà BÑT, tuynhieân trong chuyeân ñeà naøy caùc keát quaû ñoù ñöôïc xaây döïng moät caùch töï nhieân hôn vaøsaép xeáp töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp giuùp ngöôøi ñoïc coù moät caùi nhìn toång quan hôn.Một số bài toán có phần chú ý để chúng ta có thể nhìn nhận bài toán từ nhiều hướng khácnhau.Chuyên đề gồm hai phần chính:Phần I :SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BĐTPhần II : MỘT SỐ MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆCCHỨNG MINH BĐT Vì naêng löïc coøn nhieàu haïn cheá neân ôû chuyeân ñeà coù nhöõng thieáu soùt nhaát ñònh. Raátmong nhaän ñöôïc söï thoâng caûm vaø goùp yù ñeå chuyeân ñeà ñöôïc toát hôn. zzvinhduyzz@zing.vnPhần I:SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BĐTNhận xét: Nếu y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm A( x0 ; y0 )( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng D chứa điểm x0 saocho f ( x)  ax  b x  D hoặc f ( x)  ax  b x  D . Đẳng thức xảy ra khi x  x0 *Nếu y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm A( x0 ; y0 ) thì ta luôn phântích được f ( x )  (ax  b)  ( x - x0 )k g( x ) , k  2Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức. 1Bài toán 1: Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR: 6(a  b  c  d )  (a  b  c  d )  3 3 3 3 2 2 2 2 8 1Nhận xét. Dấu bằng xảy ra  a  b  c  d  . BĐT cần chứng minh: 4 1 1(6a3  a 2 )  (6b3  b 2 )  (6c3  c 2 )  (6d 3  d 2 )   f (a)  f (b)  f (c)  f (d )  8 8 1Trong đó f ( x)  6 x3  x 2 . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm có hoành độ x  là 4 1 1 1   1 2  1   1 1 1 3 2 5x 1y  f ( )( x  )  f ( )  18.   2.     x    6       y  4 4 4  4   4    4 4 4 8 5x 1Điều chúng ta cần: f ( x)  với x   0;1 8Lời giải. 5a  1Ta có: (6a  a )  3 2  48a 3  8a 2  5a  1  0  (4a  1) 2 (3a  1)  0 (Đúng x  (0;1) ) 8 5(a  b  c  d )  8 1Vậy: f (a)  f (b)  f (c)  f (d )   (đpcm) 8 8 3 a b c 9Bài toán 2: Cho a, b, c   và a  b  c  1 . CMR:  2  2  4 a2  1 b  1 c  1 10 1 9Nhận xét. Dấu bằng xảy ra  a  b  c  và BĐT chứng minh có dạng f (a)  f (b)  f (c)  3 10 x  3 trong đó f ( x)  với x    ;   . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm có hoành độ x 1 2  4  1 36 x  3x  là: y  3 50 36a  3 a (3a  1)2 (4a  3)Lời giải. Ta có  2  0 50 a 1 50(a 2  1)  3  a 36a  3  3  a b c 36(a  b  c)  9 9a    ;    2  a    ;   Vậy: 2  2  2    4  a 1 50  4  a 1 b 1 c 1 50 10đpcm Chú ý: Bài toán 1.67( ...