Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính

Bài viết Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính phân tích, nghiên cứu công thức Itô trường hợp một chiều và công thức Itô tổng quát, với các ví dụ chi tiết rõ ràng tương ứng với từng công thức. Các ví dụ cụ thể về công thức Itô sẽ có ích cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, từ đó có thể đi sâu nghiên cứu hơn về vi tích phân ngẫu nhiên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 CÔNG THỨC ITÔ VÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÍNH Nguyễn Thành Tâm1 TÓM TẮT Bài viết phân tích, nghiên cứu công thức Itô trường hợp một chiều và công thứcItô tổng quát, với các ví dụ chi tiết rõ ràng tương ứng với từng công thức. Các ví dụcụ thể về công thức Itô sẽ có ích cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, từ đó có thể đisâu nghiên cứu hơn về vi tích phân ngẫu nhiên. Từ khóa: Itô, vi phân, tích phân, quá trình ngẫu nhiên 1. Mở đầu Wt  (Wt1 , Wt 2 ,...,Wt m )t (W ti , i  1, 2,..., m là Vi tích phân Itô là một trong những các quá trình Wiener độc lập nhau) [1].khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu Các quá trình Fsi , Gsij là các quá trìnhnhiên, đã có rất nhiều nghiên cứu từ lý Ft đo được dần và thỏa điều kiện:thuyết đến ứng dụng về nó. Công thức t tItô là nền tảng cơ bản để nghiên cứu sâu F  G  ij 2 s i ds  ; s ds  hơn về giải tích ngẫu nhiên, bài viết 0 0nhằm phân tích các ví dụ chi tiết công h.c.c t  ; i, j (1)thức Itô theo hướng dễ tiếp cận với hyvọng tạo thêm nguồn tài liệu tham khảo (h.c.c: Hầu chắc chắn)cho những sinh viên quan tâm đến giải Nếu các quá trình X t1 , X t2 ,..., X tn làtích ngẫu nhiên. Phạm vi bài viết đề cập Ft - thích nghi và thỏa hệ thức:công thức Itô một chiều và công thức t m tItô tổng quát cùng với các ví dụ minh X ti  X 0i   Fsi ds    Gsij dWs j (2)họa cho các công thức sẽ giúp cho việc 0 j 1 0tiếp cận quá trình Itô dễ dàng hơn, từ đó Khi đó ta nói X t  ( X t1 , X t2 ,..., X tn ) khai thác sâu hơn nữa ứng dụng vi tích là quá trình Itô n – chiều.phân Itô. Ta có thể viết quá trình Itô ở dạng 2. Nội dung và phương pháp ma trận là:nghiên cứu t t 2.1. Quá trình Itô X t  X 0   Fs ds   Gs dWs (3) 0 0 Xét trên không gian xác suất được Hoặc viết dưới dạng vi phân Itô là:lọc (, F , Ft t 0 , P) , ta xác định mộtquá trình Wiener m-chiều dX t  Ft dt  Gt dWt (4) Với1 Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng ThápEmail: nttam@dtcc.edu.vn 95TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482  Fs1   dWs1    t t     K t  K t0   ( s, X s )ds   ( s, X s )dX sFs    ; Gs   Gsik  ; dWs    t0 s t0 x nm  Fsn   dWsm  1  2 t     2 t ...