Đại số sơ cấp - Phương trình – Hệ phương trình

Tham khảo tài liệu đại số sơ cấp - phương trình – hệ phương trình, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số sơ cấp - Phương trình – Hệ phương trình A = a 2 + b2 + b2 + c 2 + c2 + a 2 .Bài 38. Cho các số x, y thay đổ i thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức xy + y 2 . A= 1 + 2 x 2 + 2 xyBài 39. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổ i. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 1  y 1  z 1  P = x  +  + y  +  + z  + .  2 yz   2 zx   2 xy Bài 40. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổ i thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức x2 ( y + z ) y2 ( z + x ) z2 ( x + y) . P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y yBài 41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  π sin  x −  π  4  , x ∈  ;π  . y= 2  sin x + 1 + 2cos2 xCHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1. Phương trình 1.1. Định nghĩaCho hai hàm số của n biến thực x1 , x2 ,..., xn là f ( x1; x2 ;...; xn ), g ( x1; x2 ;...; xn ). Ta gọi bộ n sốthực ( x1; x2 ;...; xn ) ∈ ℝ n là một điểm trong ℝ n . Khi đó các hàm số f ( x1; x2 ;...; xn ), g ( x1; x2 ;...; xn )được xem là các hàm một biến x trong ℝ n .Ta gọi Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f ( x) = g ( x ) (1)trong đó, f ( x ) và g ( x) là những biểu thức chứa x. Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x) là vế phải củaphương trình (1). Nếu coi f và g là hàm của n biến trong không gian ℝ thì (1) là phươngtrình của n ẩn x1 , x2 ,..., xn . Giả sử f(x) có tập xác định là D1, g(x) có tập xác định là D2 thì D = D1 ∩ D2 gọi là tập(miền) xác định của phương trình (1). Nếu xo ∈ D sao cho f ( xo ) = g ( xo ) là một mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệ mcủa phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó, tập hợp các nghiệm của phươngtrình kí hiệu là S. Nếu S = ∅ thì ta nói phương trình vô nghiệm. 43Chú ý. Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò là các ẩn số,còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọ i là tham số. Giải và biệnluận phương trình chứa tham số, nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trìnhvô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. ( )Chẳng hạn, m 2 + 1 x + 5 = 0 và x 2 + ( m + 1) x + 2 = 0 có thể được coi là các phương trình ẩnx, chứa tham số m. 1.2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1.2.1. Phương trình tương đương. Hai phương trình được gọi là tương đương với nhaukhi chúng có cùng tập hợp nghiệm.Khi hai phương trình f ( x) = g ( x ) ; f1 ( x ) = g1 ( x) tương đương với nhau ta dùng kí hiệu f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x). 6Ví dụ. Hai phương trình 5x – 3 = 0 và 2 x − = 0 tương đương với nhau vì cùng có nghiệm 5 3duy nhất là x = . 5Chú ý. Nếu theo định nghĩa trên thì hai phương trình vô nghiệm cũng được coi là tương đươngvới nhau vì có cùng tập hợp nghiệm đó là tập hợp ∅ . Vì vậy, cách viết sau cũng coi như làđúng, tuy nhiên trong thực tế ít khi gặp. Chẳng hạn, x 2 + 3 = 0 ⇔ cos x = 3.Sự tương đương của hai phương trình có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.1.2.2. Phương trình hệ quả Nếu mọ i nghiệm của của phương trình f ( x) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x) được gọ i là phương trình hệ quả của phương trình f ( x) = g ( x ) .Ta dùng kí hiệu f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ). ( )Ví dụ. Phương trình x 2 − 1 ( x + 3) = 0 là phương trình hệ qu ...