Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng - Trường ĐH Sài Gòn

Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng nhằm giúp sinh viên bước đầu làm quen với lĩnh vực giải số phương trình đạo hàm riêng, chúng tôi biên soạn phần đọc thêm hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm Matlab để giải số các phương trình đạo hàm riêng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng - Trường ĐH Sài Gòn ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Giáo trìnhPhương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05 Chủ nhiệm đề tài: PGS. TS. Phạm Hoàng Quân Thành viên: ThS. Phan Trung Hiếu ThS. Hoàng Đức Thắng Tp. Hồ Chí Minh, 10/2014 1 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Giáo trìnhPhương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng Chủ nhiệm đề tài Tp. Hồ Chí Minh, 10/2014 1 Lời nói đầu Ngày nay, Phương trình đạo hàm riêng trở thành một lĩnh vực quan trọng của Toánhọc. Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình đạo hàm riêngnhư: sự truyền nhiệt trong vật dẫn, sự dao động của dây, sóng âm, sóng thuỷ triều,… Hơnnữa, với sự phát triển của các kỹ thuật tính toán hiện đại, môn học Phương trình đạo hàmriêng đã trở nên cần thiết không chỉ cho sinh viên ngành Toán mà còn cho những sinhviên ngành Vật lý và các ngành kỹ thuật khác. Vì vậy, chúng tôi biên soạn cuốn “Giáotrình Phương trình đạo hàm riêng” nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của sinhviên về môn học này. Nội dung của cuốn giáo trình này được biên soạn theo đề cương chi tiết học phầnPhương trình đạo hàm riêng đang được dùng giảng dạy trong Khoa Toán - Ứng dụng,trường Đại học Sài Gòn. Giáo trình gồm 4 chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của phương trìnhđạo hàm riêng. Chương 2, 3 và 4 trình bày về phương trình truyền nhiệt, phương trình thếvị, phương trình truyền sóng và giới thiệu một số phương pháp giải. Cuối cùng, nhằmgiúp sinh viên bước đầu làm quen với lĩnh vực giải số phương trình đạo hàm riêng, chúngtôi biên soạn phần đọc thêm hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm Matlab để giải sốcác phương trình đạo hàm riêng. Trong mỗi chương, chúng tôi trình bày đầy đủ, ngắngọn các kiến thức cơ bản cùng với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, bài tập chọn lọc nhằmgiúp sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng lý thuyết trong việc giải các bàitoán. Mặc dù đã cố gắng nhiều trong quá trình biên soạn, nhưng giáo trình khó tránh khỏisai sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trìnhngày càng hoàn thiện hơn. Tp. HCM, tháng 10 năm 2014 CÁC TÁC GIẢChương 1 KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát các khái niệm cơ bản về phương trìnhđạo hàm riêng, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và đưa cácphương trình này về dạng chính tắc. Chương này cũng nhắc lại phương trình viphân tuyến tính cấp 1, cấp 2 và các kết quả của khai triển Fourier, biến đổi Fouriercần thiết cho nội dung các chương về sau.I. Ôn tập phương trình vi phân Một phương trình vi phân là phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm củahàm cần tìm. Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình được gọi là cấpcủa phương trình vi phân. Phương trình vi phân cấp n có dạng F ( x, y, y,..., y ( n ) )  0 , (1.1)trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, y, y,..., y( n ) là đạo hàm các cấp của y,biểu thức F ( x, y, y,..., y ( n ) ) thực sự chứa y (n ) . Hàm số y  y( x ) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trênkhoảng I   nếu y và các đạo hàm của nó tồn tại trên I và thỏa mãn phương trình(1.1) tại mọi điểm thuộc I.1.1. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F ( x , y, y)  0 , (1.2) dytrong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, y  . dx 3 Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là biểu thức y  f ( x , C ) , trong đó C làhằng số tùy ý sao cho:i) Với mỗi hằng số C, hàm số y  f ( x , C ) là một nghiệm của (1.2).ii) Với mọi điểm ( x 0 , y0 ) thuộc miền chứa nghiệm, khi thay vào (1.2) thì có thểgiải ra được C  C0 duy nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) viết dưới dạng hàm ẩn  ( x , y )  Cđược gọi là tích phân tổng quát. Sau đây, ta nhắc lại một số loại phương trình giải được bằng phép tính tíchphân.1.1.1. Phương trình tách biến Phương trình sau đây được gọi là phương trình tách biến ...