Hàm mũ của toán tử và phương trình vi phân hệ động lực

Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số, hay phương trình vi phân hệ động lực, trong các giáo trình đại học được giải theo phương pháp giá trị riêng của ma trận hoặc đưa về một phương trình vi phân cấp cao. Bài này giới thiệu phương pháp giải phương trình vi phân hệ động lực nhờ hàm mũ của toán tử.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hàm mũ của toán tử và phương trình vi phân hệ động lựcTAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 5 - Thaùng 01/2011 HÀM MŨ CỦA TOÁN TỬ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ ĐỘNG LỰC VÕ XUÂN BẰNG (*) LÊ NGỌC HƯNG (**)TÓM TẮT Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số, hay phương trình vi phân hệđộng lực, trong các giáo trình đại học được giải theo phương pháp giá trị riêng của matrận hoặc đưa về một phương trình vi phân cấp cao. Bài này giới thiệu phương pháp giảiphương trình vi phân hệ động lực nhờ hàm mũ của toán tử.ABSTRACT Linear differential equations with constant coefficients or dynamical differentialequations, which are basic knowledge for students, can be solved by using the values ofmatrices or by using advanced differential equations. This writing aims to introduce amethod of solving dynamical linear differential equations based on the exponentialfunction of operators.1. PHƯƠNG PHÁP HÀM MŨ CỦA exp(T) = eT = =I+ + +… + TOÁN TỬ (*) (**) +… Xét hệ phương trình vi phân thuầnnhất có hệ số hằng Là một chuỗi trong không gian vector n L(R ). Coi T là ma trận vuông cấp n, I là max’ = A.x (1) trận đơn vị cấp n.x’ = ( … ), Ta có các tính chất trong bổ đề sau đâyx = (x1 x2 x3 … xn) viết theo dạng cột, Bổ đề.A = (aij)n .  Tk Tập L(Rn) = {T : Rn Rn T là toán 1. Chuỗi lũy thừa  k 0 k ! hội tụ tuyệttử tuyến tính} được đồng nhất với tập tất đối và đều trên L(Rn).cả các ma trận vuông cấp n ( ma trận 2. Giả sử P, S, T là các toán tử trên Rn.của toán tử tuyến tính T trong cơ sở Khi đó:chính tắc) . Tập này được đồng nhất với a) Nếu Q = PT. P-1 thì eQ = P.eT. P-1 . 2 vì ma trận là bảng gồm n số. Chuẩn b) Nếu S.T = T.S thì eS+T = eS. eT .được sử dụng là chuẩn Euclide trên Rk . c) e-S = (eS)-1 .Với mỗi toán tử T : Rn Rn ta định nghĩa d) Nếu n = 2 và T =(*) thì eT = ea . ThS, Trường Đại học Giao thông Vận tảiThành phố Hồ Chí Minh e) Nếu T là ma trận chéo:(**) ThS, Trường Đại học Sài Gòn 73  c1 0 ... 0  (*)   0 c2 ... 0  T=   ... ... ... ...  Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính   0 0 ... cn  không thuần nhất  ec1 0 ... 0  x’(t) = A.x(t) + B (2)   ec2 thì e =  T 0 ... 0  có phương trình vi phân tuyến tính thuần .  ... ... ... ...  nhất tương ứng   0 0 ... ecn  x’(t) = A.x(t) (3) n 3. Cho T có trị riêng là c thì T có trị Định lý 2. Giả sử x0 là một nghiệm riêngriêng là cn và eT có trị riêng là ec. của (2) và H là tập các nghiệm của (3). Khi Gọi A là toán tử trên Rn, tức đó tập K các nghiệm của (2) có dạngA L(Rn). Ta sẽ biểu diễn các nghiệm K = {x = y + x0 y H}.của phương trình Từ định lý 1 và 2, để giải (2) ta chỉ cần x’ = A.x (1) dưới dạng hàm mũ của tìm một nghiệm riêng của (2) bằng phươngtoán tử. pháp biến thiên hằng số. Xét ánh xạ: φ : R → L(Rn), t ...